Tautologia

Etapa 3

Passo 1

Tautologia

Raciocínio que consiste em repetir com outras palavras o que se pretende demonstrar.

 É uma Função lógica que sempre se converte em uma proposição  verdadeira seja quais forem os valores atribuído a sua variáveis.

Por exemplo, a fórmula proposicional [pic 1] ("A ou não-A") é uma tautologia, porque é verdadeira para todas as valorações de A. Existem exemplos mais complexos tais como [pic 2] ("A e B; ou não-A; ou não-B")

A negação de uma tautologia é uma contradição ou Antilogia, uma fórmula proposicional que é falsa independentemente dos valores de verdade de suas variáveis. Tais proposições são ditas insatisfazíveis. Reciprocamente, a negação de uma contradição é uma tautologia. Uma fórmula que não é nem uma tautologia nem uma contradição é dita logicamente contingente. Tal fórmula pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores atribuídos para suas variáveis proposicionais.

A lógica proposicional começa com variáveis proposicionais unidades atômicas que representam proposições concretas. Uma fórmula consiste de variáveis proposicionais conectadas através de conectivos lógicos em uma forma a fazer sentido, de tal modo que a fórmula inteira pode ser deduzida unicamente da verdade ou falsidade de cada variável. Uma valoração é uma função que atribui para cada variável proposicional V (para verdadeiro) ou F (para falso). Por exemplo, usando as variáveis proposicionais A e B, os conectivos binários [pic 3] e [pic 4] representando disjunção e conjunção, respectivamente, e o conectivo unário [pic 5] representando negação, a seguinte fórmula pode ser obtida:

[pic 6].

Uma Tautologia é intrinsecamente verdadeira pela sua própria estrutura,ela é verdadeira independente dos seus valores lógicos atribuídos as suas letras e preposição.

Exemplo: (P        q)        (~q         ~p)[pic 7][pic 8][pic 9]

Leis de Morgan

Os teoremas do matemático De Morgan são propostas de simplificação de expressões em álgebra booleana de grande contribuição. Definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa.

Sendo [pic 10] e as operações em [pic 11] sendo [pic 12] e [pic 13] assim definidas:

Operação Lógicas	Símbolo	Exemplo
OU	+	0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
E	.	0+0=0 0+1=0 1+0=0 1+1=1
Não	-	0=1[pic 14] 1=0[pic 15]

Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}. Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis:

Lógica proposicional

[pic 16]

Lógica booleana 

[pic 17]

[pic 18]

O complemento, ou negação de um produto (AND) de variáveis é igual a soma(OR) dos complementos das variáveis.

O complemento, ou negação de uma soma (OR) de variáveis é igual ao produto (AND) dos complementos das variáveis.