Tautologia

TAUTOLOGIAS

Toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira).

Em outros termos, tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre V(verdade), qualquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...

As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras.

As proposições p -> p e p < - > p são tautológicas (Princípio de identidade para as proposições).

Exemplos:

1) A proposição ~(p ^ ~p) (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme a tabela-verdade.

p ~p p ^ ~p ~(p ^ ~p)

V F F V

F V F V

Portanto, dizer que uma proposição não pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro.

2) A proposição p v ~p (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, conforme a tabela-verdade.

p ~p p v ~p

V F V

F V V

Portanto, dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.

3) A proposição p v ~(p ^ q) é tautológica, conforme a tabela-verdade

p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q)

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V

4) A proposição p ^ q -> (p < - > q) é tautológica, conforme a tabela-verdade

p q p ^ q p < - > q p ^ q ->( p < - > q)

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F V V

CONTRADIÇÃO

Toda proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F(falsidade).

Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre F(falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...

Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição e vice-versa.

Portanto, P(p, q, r,...) é uma tautologia se e somente se ~P(p, q, r, ...) é uma contradição, e P(p, q, r,...) é uma contradição se e somente se ~P(p, q, r,...) é uma tautologia.

As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas.

Exemplos:

1) A proposição p ^ ~p é uma contradição, conforme a tabela-verdade.

P ~ p p ^ ~p

V F F

F V F

Portanto, dizer que uma proposição pode ser simultâneamente