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(Semanas  5, 6, 7, 8) Método Dedutivo

A maioria das implicações e equivalências lógicas foram demonstradas até agora através do Método das tabelas-verdade. Esse método, porém, é ineficiente quando empregado sobre uma fórmula com várias proposições atômicas. Um outro método mais eficiente, denominado Método dedutivo será estudado a partir de agora.

Regras de Inferência

O método dedutivo utiliza as propriedades das operações sentenciais vistas anteriormente e mais algumas Regras de Inferência para deduzir, ou provar alguma conclusão a partir de algumas premissas. A seguir são apresentadas as Regras de Inferência utilizadas.

Nome da Regra	Regra
Modus Ponens	α, α → β ⇒ β
Modus Tollens	α → β, ¬ β ⇒ ¬α
Silogismo Hipotético ou Regra da Cadeia	α → β, β → λ ⇒ α → λ
Silogismo Disjuntivo	α ∨ β, ¬β ⇒ α
Dilema Construtivo	α → β,  λ → γ, α ∨ λ ⇒ β ∨ γ
Dilema Destrutivo	α → β,  λ → γ, ¬β ∨ ¬γ ⇒ ¬α ∨ ¬ λ
Simplificação	α ∧ β ⇒ α
Conjunção	α, β ⇒ α ∧ β
Adição	α ⇒ α ∨ β
Contraposição	α → β ⇒ ¬β → ¬α
Exportação	α → (β → λ) ⇒ (α ∧ β) → λ
Importação	(α ∧ β) → λ ⇒ α → (β → λ)

Por exemplo, a forma de leitura da Regra de Modus Ponens é a seguinte:

Se α é verdade e α → β é verdade então necessariamente β é verdade

As outras regras são interpretadas de maneira semelhante.

Pode-se verificar facilmente a validade de cada Regra de Inferência apresentada anteriormente através da Propriedades de Equivalências também já apresentadas.

Considere-se, por exemplo que as proposições p, q, r, s possuem valores verdade V e t é F, respectivamente.

Exemplo 1. Validar a regra de Simplificação.

p ∧ q → p

p ∧ q → p ⇔	¬(p ∧ q) ∨  p
⇔ ⇔ ⇔ ⇔	¬p ∨ ¬q ∨ p (¬p ∨ p) ∨ ¬q V ∨ ¬q V

Exemplo 2. Validar a regra de Modus Ponens

(p → q) ∧ p → q

(p → q) ∧ p → q ⇔	(¬p ∨ q) ∧ p → q
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔	¬((¬p ∨ q) ∧ p) ∨ q (p ∧ ¬q) ∨ ¬p ∨ q (p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p) ∨ q V ∧ (¬q ∨ ¬p) ∨ q (¬q ∨ ¬p) ∨ q F ∨ V V

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