Atps estatistica

Distribuição de probabilidade

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Em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Ela é uma função cujo domínio são os valores da variável e cuja imagem são as probabilidades de a variável assumir cada valor do domínio. O conjunto imagem deste tipo de função está sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.

Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.

Índice

1 Distribuições de probabilidade para variáveis discretas

2 Distribuições de probabilidade para variáveis contínuas

2.1 Distribuições em intervalos limitados

2.2 Distribuições em intervalos semi infinitos

2.3 Distribuições em intervalos infinitos

3 Notas

4 Referências

Distribuições de probabilidade para variáveis discretas

Para este tipo de variável, a distribuição de probabilidade representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir um certo valor x: P(X=x). A soma de todas as possibilidades que o x pode assumir terá o valor 1 (100%). As funções de distribuição de probabilidade para variáveis discretas mais famosas são (para todos os casos, a letra "e" significa o número neperiano):

Distribuição Função de Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação

de Boltzmann Exemplo Exemplo E

Bernoulli \begin{cases} q=(1-p) & \text{para }k=0 \\ p & \text{para }k=1 \end{cases} E\left(X\right)=p \textrm{Var}\left(X\right)=p\left(1-p\right) ~Ber(p)

binomial P(k)={n \choose k} p^k q^{n-k} \operatorname{E}[X] = np \operatorname{Var}[X] = np(1 - p) ~Bin(p,n)

Binomial negativa Exemplo Exemplo Exemplo ~BN(r,p)

geométrica Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo

hipergeométrica Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo

de Poisson f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, E \left [ X \right ] = \lambda \operatorname{Var}[X] = \lambda ~Poisson(\lambda )

Distribuições de probabilidade para variáveis contínuas

Para este tipo de variável, a função distribuição de probabilidade representa a probabilidade de X assumir um valor num intervalo infinitesimal x+ \delta x. funções de distribuição de probabilidade mais famosas são (para todos os casos, a letra "e" significa o número neperiano):

Distribuições em intervalos limitados

Distribuição uniforme: é o modelo mais simples para variáveis aleatórias contínuas [1] .

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação

f(x,\alpha,\beta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\beta - \alpha}, & \mbox{se }\alpha \le x \le \beta \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{matrix}\right. [1] \mathrm{E}[X] = \frac{\alpha + \beta}{2} \mathrm{Var}[X] = \frac{(\beta - \alpha)^2}{12} X \sim U(\alpha,\beta)

Distribuição beta: x está sempre entre 0 e 1

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação

f(x,\alpha,\beta)= \frac{1}{B(\alpha, \beta)}x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}, 0<x<1,\alpha>0,\beta>0, sendo que B denota a função beta: B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1} x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}\, dx [2] \mathrm{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \mathrm{Var}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)} Exemplo

Distribuições em intervalos semi infinitos

Distribuição gama: x é sempre não-negativo

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação

f(x|\alpha,\beta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha }, & \mbox{se }x>0 \\ 0, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right. , sendo a função gama \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{\alpha - 1}\, dx, \alpha > 0 [3] \mathrm{E}[X] = \alpha \beta \mathrm{Var}[X] = \alpha \beta^2 X \sim Gama(\alpha,\beta)

Chi-quadrado: caso especial da distribuição Gama, quando \alpha=\frac{v}{2}