Aula Derivadas
Por: caueklein • 8/3/2016 • Monografia • 2.468 Palavras (10 Páginas) • 343 Visualizações
[pic 1] | UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS Ciências Exatas e Tecnológicas Matemática para a Administração Prof. Ms. Marjúnia Klein |
Aula 10 - Administração
Derivada de uma função
Derivada
Definição: Dada uma função F, chama-se de derivada de F ao [pic 2] quando este limite existe. [pic 3]é chamado acréscimo dado à variável independente x.
[pic 4]é chamada acréscimo recebido pela função e também pode ser simbolizado por [pic 5]
[pic 6] é chamada razão dos acréscimos.
Determine a derivada da função F(x) =[pic 7] e a seguir calcule a derivada para x = 2.
Pela definição, calculemos F’(x) = [pic 8]percorrendo 4 etapas.
Etapa 1: F(x+[pic 9]
Etapa2: F(x+[pic 10][pic 11]
=[pic 12]-[pic 13]
=[pic 14]
Etapa 3: [pic 15]
Etapa 4: [pic 16]
Portanto: F’(x) = 2x – 3
F’(2) = 2.2-3=1
Interpretação geométrica da Derivada
[pic 17][pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22][pic 23]
[pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Suponhamos uma função F, contínua e derivável em a,cujo gráfico é o gráfico acima.
Após dar um acréscimo [pic 29] a x, a partir de a obtém-se os pontos P(x,F(x)) e Q(x+[pic 30], F(x+[pic 31])).
A declividade da reta s é:
[pic 32]
Se [pic 33], temos as seguintes consequências:
- (x+[pic 34]
- Q [pic 35]P, ou seja, o ponto Q desloca-se sobre o gráfico de P tendendo assumir a posição P.
- A reta s, secante ao gráfico (que tem dois pontos de encontro com o gráfico F e Q), tende a assumir a posição de reta tangente t ( que tem só o ponto F como ponto de contato com o gráfico)
Conclusão: [pic 36], e esse limite será a declividade da reta t, tangente à curva, gráfico F, no ponto (x,F(x)).
Outro exemplo:
Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x² +1 e use-a para encontrar a equação da reta tangente a y = x² +1 em x = 2.
[pic 37]Então, f’(x) = 2x, que é a declividade da reta tangente.
Assim, a declividade da reta tangente em x = 2 é, f’(2)=2.2=4 e o ponto da função por onde passa essa reta é f(2) = 2² + 1= 5.
Para determinarmos essa equação da reta, vamos utilizar a declividade em x=2 e o ponto da função por onde a reta tangente passa. Fica:
[pic 38]
4(x – 2) = y – 5
4x - 8 = y – 5
4x -3 = y (equação da reta tangente à curva no ponto P(2,5)
Podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em qualquer ponto.
Por exemplo: Encontre a equação da reta tangente em x = -1.
f’(x) = 2x=2.(-1) = -2 e f(-1) = (-1)² + 1 e -2 [pic 39]
f(-1) = 2 -2 = [pic 40]
-2(x+1)= y – 2
-2x – 2 = y – 2
-2x = y (equação da reta tangente à curva)
Encontre a equação da reta tangente em x = -2
f’(x)=2x.=2(-2)= - 4 e f(-2) = (-2)²+1=5 e - 4= [pic 41] - 4 (x+ 2) = y - 5
- 4 = [pic 42] -4x – 8 = y – 5
- 4x – 3 = y
Encontre a equação da reta tangente em x = -3
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