Trabalho sobre administração

TEORIA DA ELASTICIDADE - LISTA III

Data de entrega: 12/04/10 – data de recebimento: 26/04/10

EQUAÇÕES GERAIS DA ELASTICIDADE

1) Sendo a força de massa o peso próprio, [pic 1] , considere-se o tensor

[pic 2]

Determinar uma expressão para [pic 3], para que [pic 4] seja um possível estado de tensão.

SOLUÇÃO:

- Equações de equilíbrio:

[pic 5]

As duas primeiras equações se anulam identicamente. A 3a equação fornece:

[pic 6]

Logo,

[pic 7]

Escolhamos, por exemplo, f(x,y)=0, donde se conclui que

[pic 8]

As equações de compatibilidade serão atendidas porque as tensões são funções lineares de x, y e z o que implica serem também as deformações, e como as equações de compatibilidade envolvem derivadas segundas elas serão identicamente nulas. Logo, o estado de tensão proposto é possível, ou seja, atende às equações de equilíbrio e de compatibilidade.

2) Seja uma barra cilíndrica sujeita ao peso próprio, [pic 9]. Pelo Método inverso, consideremos o tensor:

[pic 10]               

[pic 11]

Determinar as forças de superfície correspondentes.

SOLUÇÃO:

1. verifiquemos se [pic 12] é um estado de tensão possível.

- Equações de equilíbrio:

[pic 13]          , atendidas

• Equações de compatibilidade:

Como a componente não nula [pic 14] é função linear, as equações de compatibilidade também são atendidas

1. determinação das forças de superfície

• superfície lateral:

[pic 15]                                           

[pic 16]

[pic 17]                     

o que indica que a superfície lateral está livre de forças (descarregada).

• superfície inferior:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Na superfície inferior x=0. Logo,

[pic 21]

o que indica que a superfície inferior está descarregada.

- superfície superior:

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Na superfície superior x=L. Logo,

[pic 25]

[pic 26]

Então a força de superfície é uma distribuição de forças constantes e de direção x. Sua resultante é R = γ.L.A = γ.V = P (peso total da barra), o que verifica o equilíbrio global.

3) Determinar os deslocamentos para a barra cilíndrica do problema anterior.

SOLUÇÃO:

Das relações tensão-deformação, temos:

[pic 27]

Das relações deformação-deslocamento, com [pic 28],

[pic 29]

Determinação de u:

Derivando (2) e (4):

[pic 30]          (7)

Derivando (3) e (5):

[pic 31]           (8)

Derivando (4), (5) e (6):

[pic 32]

        Integrando as equações (1), (7)

De (1) :[pic 33]

[pic 34]

Os termos lineares não afetam o estado de deformação, ou seja, correspondem a um movimento de corpo rígido, cujos 6 graus de liberdade correspondem às 6 constantes. Para determinarmos as constantes, vamos restringir o movimento de corpo rígido. Seja, por exemplo, as translações e as rotações nulas no ponto P(L,0,0). (u=v=w=wxy=wxz=wyz=0)

Obtemos, então,

C1=C2=C4=C5=C6=0;    C3=-kL2/2

Logo,

[pic 35][pic 36]

---

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Seja um ensaio de corpo de prova a tração na direção z (isto é,  σX = σY = 0 e σZ não nulo). Use a lei de Hooke generalizada expressa em função das constantes de Lamé para relacionar εX e εY a εZ , e εZ a σZ . Em seguida, compare os resultados obtidos com as expressões:

        εX = εY  = - ν εZ ;         σZ = E εZ

e então obtenha as relações entre as constantes de Lamé e o módulo de elasticidade longitudinal, E, e o coeficiente de Poisson, ν.