Percepção do espaço arquitetura

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TECNOLOGIA EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ARMADO

   

VIGAS HIPERESTÁTICAS - EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS

[pic 2]

Apostila organizada pelo professor:

• Edilberto Vitorino de Borja

2014.2

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ÍNDICE

1. CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTÍNUAS                             2

1. Método da equação dos 3 momentos                                                2
2. Aplicações                                                                        4
3. Convenção de sinais                                                                4
4. Cálculo e desenho do diagrama de momentos fletores de viga contínua                5
5. Cálculo das reações de apoio                                                        6
6. Exercícios                                                                        10

1. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS                                                        14

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1. CALCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTINUAS

Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos.

Na determinação dos esforços seccionais de vigas isostáticas utilizam-se as três equações de equilíbrio da estática, necessárias e suficientes para garantir sua estabilidade.

Para as vigas hiperestáticas, as incógnitas (reações) são em número superior as três equações de equilíbrio da estática, sendo necessários então novos métodos para determinação dos seus esforços. Foram criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos da viga e conseqüentemente desenhar os diagramas.

Métodos de Cálculo:	Método dos Deslocamentos
Método dos Esforços
Método de Cross
Método da Equação dos Três Momentos

1. MÉTODO DA EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS

O método apresentado a seguir é válido apenas para vigas que tenham inércia constante ao longo do comprimento de toda a viga (inércia constante para todos os vãos).

O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) seqüenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seção.

Vamos escolher um trecho de dois vãos ([pic 3] e [pic 4]) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo:

[pic 5]

A Equação dos 3 Momentos apresentada abaixo é valida para uma viga com momento de inércia constante no vão e de vão para vão.

Fórmula

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Onde:

• [pic 7]e [pic 8]:comprimento dos vãos;
• Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios;
• [pic 9]e [pic 10]: Fatores de carga (função do tipo de carga atuante no vão).

Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas.

FATORES DE CARGA:

1. - Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão:

[pic 11]

[pic 12]

1. - Para carga concentrada no vão:

[pic 13]	[pic 14]
[pic 15]

Observação

O índice "1", nas fórmulas de fatores de carga, indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio da direita.

1. APLICAÇÕES

Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de uma viga contínua, deve-se aplicar a equação dos três momentos em vãos subseqüentes dois a dois. O resultado é que o número total de aplicações é igual ao número de vãos menos um.

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Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos:

[pic 16]

Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação e três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos.

1. CONVENÇÃO DE SINAIS - MOMENTOS

Olhando as cargas à esquerda da seção considerada: considera como positivo o momento com tendência de giro no sentido horário	[pic 17]
Olhando as cargas à direita da seção considerada: considera como positivo o momento com tendência de giro no sentido anti-horário	[pic 18]

1. CÁLCULO E DESENHO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DE UMA VIGA CONTÍNUA

[pic 19]

[pic 20]

EQUAÇÃO:                 

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Uma aplicação: 2 vãos.

Vãos	Apoios
n = 1 n +1 = 2	n -1 = 0
n = 1
n +1 = 2

[pic 21]

Observação:

Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço.

1. CÁLCULO DOS FATORES DE CARGA

Vão 1	Vão 2
[pic 22]	[pic 23]
Cálculo [pic 24]	Cálculo [pic 25]

• Agora podemos resolver a 1ª aplicação

[pic 26]

 

1. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO

As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos vãos (distribuídas e/ou concentradas), devem-se aplicar também os momentos nos apoios do respectivo vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele.