UNIP – UNIVERSIDADE PAULISTA

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Superfície Cônica

A superfície cônica pode ser gerada através da rotação de uma reta concorrente com um eixo ou através de um círculo de raio variável que sofre translação ao longo de um eixo.

É uma superfície ilimitada, formada pela união de linhas retas, que passam pela vértice e qualquer ponto de alguma curva de espaço fixo, que é chamada de diretriz, que não contem o ápice, cada linha é chamada de geratriz da superfície.

Superfície Cônica de Revolução

É a superfície gerada pela rotação completa de uma reta (geratriz) em torno de outra reta (eixo), formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução, que seria a volta completo.

Ao ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice. Quando o plano que intersecta a superfície cónica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cónica degenerada, caso contrário é obtido cônicas não degeneradas. (Elipse é a curva que se obtém selecionando-se um cone com um plano que não passa pelo vértice, não paralelo a uma reta geratriz – reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gera-lo e que corta apenas umas das folhas da superfície).

Tipos de Superfície Cônica

  Se o plano secante intersecta todas as posições da geratriz e o eixo, a linha obtida é:

[pic 1]   

Figura 01: Um ponto, se o plano passa pelo vértice (elipse degenerada).

[pic 2]   [pic 3]

Figura 02 e 03: Uma elipse (conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles. Os pontos fixos são os focos da elipse. À distância entre os focos chama-se distância focal (2c).). Se o plano não passa pelo vértice e é oblíquo em relação ao eixo;

Se, em particular, o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência.

Se o plano secante é paralelo ao eixo, a linha obtida é:

[pic 4]

Figura 04: Uma hipérbole (hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante e menor que a distância entre eles.

Os pontos fixos são os focos da hipérbole. A distância entre os focos é a distância focal (2c).

 Ao eixo que contém os focos chama-se eixo transverso). Se o plano não passa pelo vértice;

[pic 5]

Figura 05: Duas retas concorrentes, se o plano passa pelo vértice (hipérbole degenerada).

Se o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz, a linha obtida é:

[pic 6]

Figura 06: Uma parábola (é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta, que não contém o ponto. Ao ponto fixo chama-se foco. À reta chama-se diretriz. A reta que é perpendicular à diretriz e contém o vértice e o foco é o eixo de simetria da parábola) se o plano não passa pelo vértice;

[pic 7]

Figura 07: uma reta, se o plano passa pelo vértice (parábola degenerada).

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Bibliografia

http://www.exatas.ufpr.br/portal/docs_degraf/conicas.pdf