A TAREFA ESTATISTICA DESCRITIVA

1 – Distribuição Exponencial

A distribuição exponencial se caracteriza por uma função taxa de falha constante, sendo a única distribuição absolutamente contínua com essa propriedade. Ela é considerada uma das mais simples em termos matemáticos. Esta distribuição tem sido extensivamente utilizada para modelar o tempo de vida de certos produtos e materiais, tais como óleos isolantes, dielétricos, entre outros.

A função densidade de probabilidade para um tempo de falha T com distribuição exponencial é dada por:

       para           t  0 .[pic 1][pic 2]

Onde θ é o MTTF (tempo médio até a falha)

 = taxa de falha ou função de risco = h(t) [pic 3]

A função acumulada de probabilidades é dada por:

F(t) = P(T < t) = 1 –  ou F(t) = 1 - [pic 4][pic 5]

A função confiabilidade é dada por:

R(t) =         ou          R(t) = [pic 6][pic 7]

A função taxa de falha ou risco associada a distribuição Exponencial é constante (FRE) e é dada por h(t) = λ   isto é, tanto uma unidade que está em operação a 20 horas, quanto uma unidade que está em operação a 40 horas tem a mesma chance de falharem em um intervalo futuro de mesmo comprimento. Esta propriedade é chamada de falta de memória da distribuição.

Outras características importantes que dizem respeito a durabilidade de um componente são: a média (MTTF), a variância e os percentis da distribuição do tempo de falha. A média da distribuição exponencial (MTTF) e a variância são dadas por:

MTTF = E(X) = 1/λ =     Variância = 1/λ2 [pic 8]

O quantil 100×p% corresponde ao tempo esperado em que 100×p% dos produtos falham, sendo obtido a partir da função de confiabilidade como:

tp = -[pic 9]

Muitas vezes, em estudos de durabilidade queremos conhecer percentis pequenos como 1%, que informam sobre tempos de falhas prematuras. Outro quantil importante é a mediana ou quantil 50%, que informa sobre o tempo em que metade das unidades falham. A média da distribuição exponencial corresponde ao quantil 63%.

Exemplo: 

1 - Considere que o tempo até a falha do ventilador de motores a diesel segue uma distribuição exponencial com  . Vamos calcular a probabilidade de um destes ventiladores não falhar nas primeiras 8.000 horas de funcionamento.[pic 10]

R(t) =  = exp(-8000/28700) = 0,7567[pic 11]

2 - Suponha que a duração de ligações telefônicas em certa empresa tenha distribuição exponencial e que, em média, cada ligação dure 10 minutos. Se apenas um telefone está disponível e alguém começa a usar o telefone imediatamente antes de você, determine a probabilidade de que você precise esperar:

a) mais que 10 minutos ;

b) entre 10 e 20 minutos ;

c) mais que 12 minutos, uma vez que já esteja esperando há 7 minutos.

Dados T segue exponencial com média  θ = 10 minutos.

a)  P(T  > 10)  = R(10) = exp(- 10/10) = 0,3679

b) P( 10 < T < 20) = P(T < 20) – P(T < 10) = [1 – EXP(-20/10)] – [1 – EXP(-10/10)] = 0,3679 – 1353 = 0,2326

c) P(T>12 / T > 7) =  P(T>12 T >7) / P(T >7) = P(T>12) / P(T>7) =[pic 12]

 EXP(-12/10) /EXP(7/10) = 0,3012/0,4966 = 0,6065

3 - O tempo de vida dos pneus de certo fabricante tem distribuição Exponencial, com duração média de 50.000 km.

a) Determine a probabilidade de que um pneu deste fabricante dure mais que 50.000 km.

b) Qual é o tempo de vida que o fabricante deve garantir de forma que, no máximo, 1% dos compradores utilizem a garantia?

a) DADOS: θ = 50.000 KM  → P(D > 50.000) = EXP(-50.000/50.000) = 0,3679

b) P( D < G) = 0,01 → P(D > G) = 0,99 = EXP(-G/50.000) → G = 502,5168 Km

4 - Suponha-se que um fusível tenha uma duração de vida T, a qual pode ser considerada uma variável aleatória contínua com distribuição Exponencial. Existem dois processos pelos quais o fusível pode ser fabricado. O processo I apresenta uma duração de vida esperada de 100 horas, enquanto o processo II apresenta uma duração de vida esperada de 150 horas. Suponha-se que o processo II seja duas vezes mais custoso que o processo I, que custa 3,00 u.m. por fusível. Admita-se, além disso, que se um fusível durar menos que 200 horas, uma multa de 20 u.m. seja lançada sobre o fabricante. Qual processo deve ser empregado de forma a se minimizar o custo esperado?

PROCESSO I: θ = 100   → P(T < 200) = 1 – EXP(-200/100) = 0,8647

CUSTO MÉDIO = (20 + 3)*0,8647 + 3*0,1353 = 20,29 U.M. 

PROCESSO II: θ = 150  → P(T < 200) = 1 – EXP(-200/150) = 0,7364

CUSTO MÉDIO = (20 + 6)*0,7364 + 6*0,2636 = 24,41 U.M.

Deve escolher o PROCESSO I que apresenta um custo médio menor.

5 – O circuito abaixo é formado por 4 componentes cujo tempo de duração segue exponencial com média = 10.000 horas. Calcular a confiabilidade do circuito para 5.000 horas.(Rs(5000)

				C2
	C1		C3
				C4

Confiabilidade para 5000 horas → R(5000) = EXP(-5000/10000) = 0,6065

Rc1(5000) = 0,6065    EM SÉRIE COM    Rc2c3c4(5000) = 1 – [P(T < 5000)^3]

Rs(5000) = 0,6065*[ 1 – ( 1 - 0,6065)^3] = 0,6065 *0,9391 = 0,5696

Distribuição de Weibull

A Distribuição de Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada para descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplicações práticas deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade básica: a sua função de taxa de falha é monótona, isto é, ela é estritamente crescente, estritamente decrescente ou constante. Ela descreve adequadamente a vida de mancais, componentes eletrônicos, cerâmicas, capacitores e dielétricos.