Exercícios Juros Simples

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INTRODUÇÃO

Olá alunos e alunas. Vou apresentar e exemplificar os conceitos fundamentais para que consigam realizar este estudo dirigido.

O enfoque é o estudo da capitalização simples, da capitalização composta e os empréstimos com pagamento único ou em prestações.

Podemos afirmar de modo simples que o objetivo da matemática financeira é fornecer respostas as seguintes perguntas:

1. Quanto devo receber por uma aplicação de determinado valor no fim de n períodos?
2. Quanto vale hoje um título de crédito com vencimento para 4 meses?
3. Quanto devo depositar periodicamente para alcançar um valor desejado?
4. Quanto devo pagar periodicamente por um empréstimo?

Em todos os casos acima nos deparamos com valores datados, ou seja, uma receita ou desembolso ocorrendo em determinada data.

Os casos de operações financeiras como aplicação de um capital, poupança, empréstimos e financiamentos estão relacionados com o conceito de valores datados. Desse modo, podemos dizer que o objetivo da Matemática Financeira é o estudo da equivalência de valores ao longo do tempo.

1. JUROS SIMPLES

1. Conceitos Iniciais

Alguns conceitos que envolvem elementos relacionados ao cálculo dos juros.

• Capital é qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. O capital será indicado por C.
• Juro é a remuneração paga em dinheiro devido ao capital emprestado. O juro será indicado por J.
• Taxa de juro é a razão entre os juros recebidos e o capital inicialmente aplicado. A taxa de juro será indicada por i.

Matematicamente a taxa de juro é expressa pela razão:

𝐽

𝑖 = [pic 2]

𝐶

Exemplo 1.1 Qual a taxa de juro cobrada num empréstimo de R$ 1.000,00 cujo resgate foi de R$ 1.300,00?

Dados: 𝐶 = 1.000 e 𝐽 = 300 (1.300 − 1.000)

A taxa de juros é dada por:

𝐽

𝑖 =[pic 3]

𝐶

---

⟹ 𝑖 =

---

300

[pic 4]

1.000

---

= 0,3 = 30%

Observação 1.1 A taxa de 30% é uma taxa percentual, enquanto a taxa de 0,3 e uma taxa unitária que se obtém dividindo-se a taxa percentual por 100. Nos cálculos financeiros utilizamos sempre a taxa unitária.

• Prazo é o intervalo de tempo de uma operação financeira. O prazo pode ser:

1. Comercial – quando cada mês é contado com 30 dias e o ano com 360 dias.
2. Exato – quando os dias de cada mês forem contados pelo calendário civil e neste caso o ano tem 365 dias ou 366 dias (ano bissexto).

A operação de adição dos juros ao capital é chamada de capitalização. Existem dois tipos de regime de capitalização:

1. Regime de capitalização simples (Regime dos juros simples) – calcula o juro sempre sobre o capital sobre inicialmente aplicado em todos os períodos de aplicação.
2. Regime de capitalização composta (Regime dos juros compostos) – calcula os juros sobre o montante do período anterior, a partir do segundo período em todos os períodos de aplicação.

1. Fluxo de Caixa

Definição 1.1 Fluxo de caixa é um conjunto de entradas e saídas, distribuídas ao longo do tempo.

O fluxo de caixa é representado por um diagrama formado por um eixo horizontal que representa a linha de tempo, onde são registradas as entradas e saídas de caixa. O registro é feito segundo a seguinte convenção entradas ficam acima do eixo e as saídas abaixo do eixo. Exemplo 1.2 Represente o fluxo de caixa de um investimento de R$ 150.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 200.000,00 no fim de 6 meses.

Exemplo 1.3 Represente o fluxo de caixa de um empréstimo de R$ 40.000,00, pelo qual o tomador pagará R$ 55.000,00 após 5 meses.

Exemplo 1.4 Represente o fluxo de caixa de um investimento de R$ 35.000,00 pelo qual o investidor recebeu o retorno em 3 parcelas trimestrais de R$ 15.000,00 vencendo a primeira após 6 meses.

Exemplo 1.5 Represente o fluxo de caixa de uma aplicação de 10 depósitos mensais de R$ 1.000,00 cada um, no início de cada mês durante 1 ano, numa caderneta de poupança que no fim do ano produziu o montante de R$ 16.000,00.

Exemplo 1.6 Represente no fluxo de caixa uma aplicação mensal de R$ 25.000,00, durante 6 meses, sempre no início de cada mês. Nos 3 meses seguintes foram retirados R$ 60.000,00 no início de cada mês, que esgotou o saldo.

Questão 1

Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou, antecipadamente, 22% de juros, conforme prévia do contrato.

1. Quanto pagou de juros?
2. Se os juros foram retidos no dia da liberação do empréstimo, qual a quantia efetivamente liberada?
3. Considerando a quantia liberada como empréstimo real e o pagamento final de R$ 250.000,00, qual a taxa efetiva de juros paga pelo industrial?

1. Juro Simples

Agora vamos iniciar o estudo do regime de capitalização simples ou simplesmente regime dos juros simples.

Definição 1.2 Dizemos que um capital está aplicado à juros simples quando o juro for calculado sempre sobre o valor inicialmente aplicado durante todo a prazo da aplicação à taxa de juro combinada.

A Definição 1.2 afirma que os juros calculados no fim de cada período são iguais. A aplicação de um capital 𝐶, à taxa 𝑖, durante 𝑛 períodos, produz em cada período o juro de 𝐶 ∙ 𝑖 e como são 𝑛 períodos o juro da aplicação é dado pela soma:

𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + ⋯ + 𝐶 ∙ 𝑖

Evidentemente, temos 𝑛 parcelas, o juro simples da aplicação é dado por: