O Sistema de Equações

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

I – INTRODUÇÃO:

Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas ( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.

II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.

Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.

1º) método da adição

Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.

EXEMPLO: 2x + y = 5

2x + 3y = 2

1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x

2x + y = 6 . ( - 1 ) - 2x - y = - 6

2x + 3y = 2 2x + 3y = 2

2y = - 4

y = -4/2

y = - 2

2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

2x + y = 6

2x + ( -2 ) = 6

2x – 2 = 6

2x = 6 + 2

x = 8/2

x = 4

3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

2º) método da substituição

Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.

EXEMPLO: 2x + y = 5

2x + 3y = 2

1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.

2x + y = 6  2x + y = 6  y = 6 – 2x

2x + 3y = 2

2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.

2x + 3y = 2

2x + 3.( 6 – 2x ) = 2

2x + 18 – 6x = 2

- 4x = 2 – 18

- 4x = - 16

- x = -16/4

- x = - 4 . ( - 1 )

x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.

y = 6 – 2x

y = 6 – 2.4

y = 6 – 8

y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

3º) método da igualdade

Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.

EXEMPLO: 2x + y = 5

2x + 3y = 2

1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos igualar as equações.

2x + y = 6  2x + y = 6  y = 6 – 2x

2x + 3y = 2  2x + 3y = 2  y = ( 2 – 2x ) / 3

2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.

6 – 2x = ( 2 – 2x ) / 3

3 3.( 6 – 2x ) = 2 – 2x

4 18 – 6x = 2 – 2x

2x – 6x = 2 – 18

-4x = -16

-x = -16/4

-x = -4 . ( -1 )

x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.

y = 6 – 2x

y = 6 – 2.4

y = 6 – 8

y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o método que seja mais rápido e seguro.

APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES

01 – Num depósito existem 24 extintores de