Problema da caixa de fosforo de Banach

.1.3: Uma moeda não viciada é lançada várias vezes. Qual a probabilidade de que obtermos 5 caras antes de obtermos 3 coroas?

Vamos considerar como sucesso a obtenção de cara em cada lançamento da moeda. Desta forma queremos obter 5 sucessos antes de obtermos 3 fracassos. Mas isto só é possível se jogarmos a moeda pelo menos 5 vezes e no máximo 7 vezes, pois em menos de 5 jogadas não é possível obtermos 5 caras e em 8 jogadas ou mais, já temos que ter obtido as 5 caras, pois caso contrário vamos ter obtido 3 coroas, ou mais o que não é o intuito.

Considere as variáveis aleatórias $ X_i\sim b(i,0,5) $, definidas como sendo o número de sucessos obtidos em $ i $ lançamentos da moeda com $ i = 5,6,7 $. Sendo assim precisamos calcular $ \mathbb{P}(X_i=5) $ para cada $ i $.

Portanto a probabilidade de obtermos 5 caras antes de 3 coroas é:

\[\mathbb{P}(X_5 =5)+\mathbb{P}(X_6=5)+\mathbb{P}(X_7=5)= \sum_{i=5}^7\left(\begin{array}{c} i\\ 5 \end{array} \right) (1/2)^5 (1-1/2)^{i-5}\thickapprox 0,23.\]

Exemplo 5.1.4: (Problema da caixa de fosforo de Banach) Suponha que um homem ande sempre com duas caixas de fósforos com $ n $ palitos cada uma. Suponha também que cada vez que ele necessite de usar um fósforo ele pegue de forma aleatória em qualquer uma das caixas. Como ele é uma pessoa distraída quando ele pega o último palito da caixa de fósforos ele não se lembra de joga-la fora. Qual a probabilidade de que quando ele perceba que uma das caixas está vazia a outra contenha exatamente $ k $ fósforos?

Para facilitar a resolução do problema vamos numerar as caixas de fósforo. Vamos calcular inicialmente a probabilidade de que, quando o homem percebe que a caixa de fósforo número 1 está vazia, a caixa de fósforo número 2 contém exatamente $ k $ palitos. Consideremos como sucesso a retirada de um palito da caixa número 1.

Seja $ A $ o evento "Retirar um fósforo da caixa número 1, mas a caixa 1 está vazia e a caixa de número 2 contém exatamente $ k $ fósforos. O evento $ A $ ocorre se, e somente se, o $ n+1 $-ésimo sucesso, ocorre na retirada de número $ n+1+n-k $.

Em outras palavras para que o evento $ A $ ocorra é necessário que nas $ n+1 $ vezes que obtemos sucesso, ou seja, que retiramos fósforo da caixa 1, já tenhamos realizado $ n+1+n-k $ experimentos. Com isso em mente, concluímos que deve haver n sucessos nos 2n-k primeiros experimentos, e deve haver sucesso na vez seguinte.

Assim

\[\mathbb{P}(A)=\left(\begin{array}{c} 2n-k \\ n \end{array} \right)\cdot \left(\displaystyle\frac{1}{2} \right)^n \cdot \left(1- \displaystyle \frac{1}{2} \right)^{2n-k-n}\cdot \displaystyle \frac{1}{2}=\left(\begin{array}{c} 2n-k \\ n \end{array} \right) \cdot \left(\displaystyle \frac{1}{2} \right)^{2n-k} \cdot \displaystyle \frac{1}{2}.\]

Como a probabilidade de que quando o homem constate de que a caixa de número 2 está vazia e a caixa de número 1 contém exatamente $ k $ fósforos também é igual a $ \mathbb{P}(A) $, a probabilidade que procuramos é $ 2\mathbb{P}(A) $.

Portanto a probabilidade de que quando ele perceba q