A Minimização do Consumo de Material

Aplicação das derivadas na otimização

Utilizamos as derivadas para obter a maximização ou minimização de um determinado fenômeno.

Por exemplo:

        Minimização do consumo de material,

        Maximização do lucro em função das despesas

Utilizemos o símbolo ‘ como referência da derivação, assim:

A derivada de f(x) é f(x)’

Regras de Derivação

1-        Derivada da constante é Zero

f(x) = 7  → f(x)’=0

2-        Derivada do Monômio

(axn) →(axn)’ = naxn-1

Multiplica-se o expoente pelo valor que está na frente da variável na função e subtrai 1 do expoente. No caso multiplicou-se “n” por “a” e subtraiu 1 de “n”

Ex.:  f(x) = 4x2+3x+6

        f(x)’= 4x+3 

multiplicamos o expoente 2 por 4 e subtraindo 1 do expoente 2; multiplica-se o expoente 1 por 3 subtraindo 1 do expoente 1 (expoente 1 menos 1 é igual a expoente zero, qualquer número elevado a 0 é 1); derivada da constante 6 é zero (regra 1)

3-         Derivada do Produto

(f.g) → (f.g)’ = f’.g+f.g’

Ex.: f(x) = (2x2-4).(x3+6)

f(x)’ = (4x). (x3+6) + (2x2-4) . (3x2)

f(x)’ = (4x4+24x) + (6x4-12x2)

f(x)’ = 4x4+24x + 6x4-12x2

f(x)’ = 10x4-12x2+24x

4-        Derivada do Quociente

(f/g) → (f/g)’ = (f´g-f.g’)/g2 

Ex.: f(x) = ((2x2-3x))/((x+1))

        f(x)’ =   ((4x)(x+1) – (2x2-3x)(1))/((x+1)2)

        f(x)’ =  ((4x2+4x) – (2x2+3x))/(x2+2x+1)

        Regra do Máximo e Mínimo        

Os pontos máximos e mínimo são aqueles quando a derivada da função é nula: dA/db=0

Exercícios:

1. y = 5
2. y = –8
3. y = 5x
4. y = –6x
5. y = 3x4
6. y = x20
7. y = 0,40x
8. y = x–1
9. y = x2 + 3x + 1
10. y = 0,4x2–5x+4
11. y = x3–3x2+12
12. (2x-6).(x2+4)
13. (3x5+4).(5x3+2)
14. y = x33 –4 x2+2x+1
15. y = x2+105