Parabola

PARÁBOLA

A parábola é a cônica que representa o conjunto de pontos ao redor de um único foco, o qual estabelece uma relação de simetria com uma diretriz.

Relacionando os pontos da parábola a seu foco e sua diretriz. Observemos que o ponto e a reta são o foco e a diretriz da parábola quando se estabelece a relação .

Logo abaixo do foco, o ponto é conhecido como vértice, que se estabelece como o ponto mínimo absoluto no gráfico da parábola.

A distância entre o foco e o vértice é a mesma do vértice para a diretriz, os pontos na parábola mantém a mesma distância do foco e da diretriz.

A simetria nos sugere que podemos encontrar uma relação simples para uma parábola cujo vértice está no ponto e que possui foco no ponto . Fazendo a relação de simetria temos:

; ; .

O que nos permite fazer:

Então:

E eis nossa equação quadrática para esta parábola primária estabelecida nos eixos.

Esta relação é meramente funcional para o foco no eixo das ordenadas, se quisermos fazer uma equivalência de variáveis e estabelece-la para as abscissas, teremos:

Generalizando para o plano cartesiano , temos a equação acima como um conjunto particular da equação mais geral, onde podemos observar e como a distância entre foco e vértice, considerando-o como parâmetro independente da posição, neste caso podemos escrever:

ou, .

Para cada um dos casos acima, identificando como distância foco-vértice. Esta denominação nos faz pensar em uma equação independente de posição.

Tomando como base o vértice, podemos dizer que, se o mesmo tem coordenada temos:

ou, .

Exercícios

1º) Encontrar os parâmetros da parábola: .

Façamos a adaptação da equação para o formato que nos permita analisar os valores:

.

.

Como podemos verificar o vértice da parábola está no ponto . Uma vez que a equação representa uma função onde a variável das abscissas tem grau 2, o foco e o vértice da parábola estão no mesmo valor de e como o parâmetro , temos o valor do foco:

E a diretriz é:

2º) Encontrar a equação da parábola cujo vértice está na coordenada e está distante da sua diretriz unidades, sabendo que a concavidade da mesma está voltada para cima.

Como a concavidade da parábola está voltada para cima, temos o foco e o vértice para o mesmo valor de que tem grau 2:

A equação é:

ELIPSE

A elipse é uma cônica definida por um conjunto de pontos ao redor de dois focos, onde a soma das distâncias entre um ponto e cada foco é uma constante.

Neste gráfico a distância focal é de e é constante para todos os pontos da elipse do gráfico. Os pontos são os vértices da elipse, enquanto que são os pontos de menor raio.

A equação da elipse pode ser encontrada, como no caso anterior da parábola, explorando a propriedade de simetria dos diversos pontos, os quais mantém a soma das duas distâncias para os focos sempre igual para todos os pontos da curva. Podemos fazer:

Sendo , um ponto qualquer e a constante. Conforme observamos no gráfico, temos dois lados simétricos onde a distância ao foco de cada lado é , a altura é e uma distância entre o foco e o ponto que é , o que nos leva a dizer que , portanto:

Sendo a elipse centrada nos eixos, temos os pontos:

; ;

O que nos leva a equação da elipse:

Podemos verificar que quando temos: e quando temos: , sendo estes valores o menor e o maior raio para a cônica, respectivamente.

Quando substituímos as variáveis ou as constantes, uma pela outra, temos uma elipse cujo maior raio sustenta-se no eixo das ordenadas, pois a correlação de valores é intuitivamente perceptível no gráfico. De maneira geral, se teremos uma elipse com o raio maior sobre as abscissas e se a teremos com o raio maior sobre ordenadas.

O centro da elipse serve de referência quando a mesma não está centrada na origem do sistema de eixos. Para converter valores a forma correta para uma elipse fora da origem do sistema de eixos, usamos a referência das coordenadas absolutas do ponto onde o centro da elipse se encontra, para encontrar a equação correta para a mesma:

Exercícios

1º) Encontrar o eixo maior, o eixo menor, os vértices e os focos da elipse representada pela equação: .

Primeiro, reduzimos a equação a forma padrão para analisar os valores das constantes, para isso formamos quadrados perfeitos com as partes de cada variável:

Portanto, o centro da elipse está na coordenada ; o raio maior mede unidades e é paralelo às ordenadas; o raio menor mede unidades e é paralelo às abscissas.

Os vértices são:

Para calcular as coordenadas dos focos fazemos: