Trabalho da faculdade em economia

Universidade do Sul de Santa Catarina – Campus Unisul Virtual

Disciplina Matemática 3704

Transcrição acessível da webconferencia correspondente a disciplina “Matemática”. Apresentação:

Bom dia pessoal, tudo bem? Meu nome é Luiz Arthur Dornelles, nós estamos estudando na UA de matemática, certo? Hoje, a gente vai fazer uma primeira videoconferência, onde eu vou abordar uma parte do assunto principalmente, mais direcionada pra AD, onde eu separei material que acredito que o pessoal tem tido mais dificuldade nessas turmas e nas anteriores. Eu só vou pedir um favor para o pessoal deixar eu passar todo o material que eu preparei, e aí no final, vou abrir um espaço para tirar duvidas e se quiser os slides estão numerados, pode o numero dos slides que tiver duvida e aí eu posso fazer um comentário e tudo mais. Está ok? Então, vamos começar do inicio, falando um pouquinho dos conjuntos numéricos. O primeiro deles é o conjunto dos números naturais, que ele surgiu pela necessidade do homem de contar coisas da natureza, objetos, itens como árvores, pedras, coisas assim. Então aquele IN ,onde tem os números 0, 1, 2, 3 até infinito . O próximo seria os inteiros, onde surgiram os números negativos, sendo que esse conjunto, se vocês olharem aqui o conjunto como um diagrama, ele só tem ali os números, que eu falei, que são os naturais, está certo? Então, o próximo seria os inteiros, onde eu tenho inserido junto com esses positivos, os negativos também, que é um conjunto maior, onde o IN está dentro desse conjunto Z, que é o dos inteiros, vejam o diagrama como é que fica. O próximo que entra é o conjunto dos números racionais, que a gente chama de Q. Por que racionais? Porque é uma razão entre dois números inteiros né, p/q, todo número que pode ser representado por uma fração. Inclui-se aí os números naturais e os inteiros. Por que os números naturais? Porque o 2 ou o 3, pode ser representado por uma fração também. O 3, por exemplo, 3/1. Ainda tem outro conjunto que a gente chama de irracionais. Seria o conjunto que não pode ser representado por uma razão ou uma fração. Esse conjunto são alguns números conhecidos como o “pi”, o “E”, constante de Euler, o numero “phi” que é o numero de ouro e assim por diante, raiz quadrada de 2, de 3, essas raízes que não dão números exatos. Então esse é conjunto a parte, esse conjunto, ele não se mistura o I com o Q, eles se complementam formando aí um quarto conjunto, que seria o conjunto dos números reais, que é a união dos dois, o Q e o I. Então, o que que acontece, quando colocar esse números num eixo, onde tem uma orientação da esquerda para a direita, de menos para mais ou dos números menores para os números maiores, a gente tem um eixo totalmente tomado, o que quer dizer isso? Que eu tenho valores entre outros dois, incontáveis, inumeráveis, então são infinitos valores entre dois números e o eixo fica completamente tomado. Seguindo um pouco a orientação do livro, nos vamos entrar agora nas soluções de equações. Eu trouxe um exemplo parecido, não igual né, mas parecido para ter uma ideia. O que eu tenho que fazer quando eu tenho uma equação. Como diz o nome equação, de equilíbrio, igualdade. Eu tenho que achar valores pra x. O pessoal costuma dizer passa para o outro lado e tal. É uma linguagem mais popular, mas a gente procura fazer as operações dos dois lados de forma igual. Se a gente soma de um lado, soma do outro, se subtrai de um lado, subtrai do outro, se multiplica de um lado, multiplica do outro...para não modificar a igualdade. Eu vou mostrar aqui passo a passo o que a gente fez, no caso eu tenho duas frações, (2x-1/2 = 5x-8/3) eu posso simplesmente multiplicar os dois lados por 2 e por 3, aí não altera. Então o que eu fiz aqui foi modificar por 2 e por 3, ou como o pessoal costuma dizer, passa o 3 multiplicando para o lado esquerdo e o 2 para o lado direito. Então aí eu posso sair da fração. No próximo passo eu vou multiplicar esses valores, esse valor 3, onde ele multiplica todos os elementos dentro dos parênteses, assim como o 2 e depois eu multiplico aqui dentro também. Então 2x vezes 3, dá 6x e -1 vezes 3, dá -3. O mesmo ocorre aqui, 10x -16, multiplicando o 8 também por 2. O próximo passo seria trazer tudo o que tem x para um lado, e o que não tem x para o outro. Então a gente tem aqui, na próxima etapa, se eu somei 3 aqui desse lado, por que eu somei 3 aqui para que aquele -3 saia dali do lado esquerdo. É a mesma coisa gente, o mesmo processo, o pessoal fala passar para o outro lado, isso aí indica um resumo do que eu fiz, então é a mesma que coisa pegar aquele -3 e passar para o outro lado com sinal positivo, embora seja uma linguagem popular o correto seria somar dos dois lados, por isso que fica positivo do ou lado, então eliminando o -3 do lado esquerdo, eu vou ter só o 6x e o -16, o +3 fica -13, ai eu tenho que tirar o 10 x do lado direito, subtraio os 10x dos dois lados e aí tiro do lado direito os 10 x. Que seria a mesma coisa que passar os 10 x para o lado esquerdo com sinal negativo. Ou seja, aqui vai zerar isso tudo, some 10x. Me sobra do lado esquerdo -4x, e lá fica ainda o -13. Agora, tenho que eliminar o – do lado esquerdo e o 4. A gente divide tudo por -4 ou passa dividindo o -4 para o lado direito. Consequentemente, -4 com -4 a gente simplifica ou divide, sobra x e do outro lado, o - com - volta fica sem + então o valor de x quando ele pede pra resolver a equação é 13, que satisfaz aquela situação. Se vocês substituírem lá e operar, vocês vão ver que o resultado do lado esquerdo vai ficar o mesmo do lado direito. Vamos para outro exemplo, um pouquinho diferente. Esse aqui resultou numa equação do primeiro grau. Essa aqui já vai resultar numa equação do segundo grau = b) x²-2x-7=-3x+5. Para resolver a equação do segundo grau não basta isolar o x como a do primeiro. A gente tem que deixar a equação no formato de uma equação normal do segundo grau, igualada a zero, para que a gente tire aqueles elementos lá, o “a” o “b” e o “c” da fórmula de baskara. Então, usando a forma popular, passa tudo para o outro lado, para o lado esquerdo. Então ali passa o -3x para lá e o 5 também, trocando o sinal, vejam troquei o sinal dos dois .Na verdade o que que é essa coisa de somar 3x dos dois lados e subtrair 5 dos dois lados. Para que isso aqui se torne zero. Ok? Resultando aqui -2x e +3x vai resultar em x, -7 com -5 vai resultar em -12.  O que a gente faz agora? Aplica a própria fórmula de baskara. Onde eu tenho que elementos? O “a” que acompanha o x ao quadrado é 1, o “b” que acompanha o x é 1 positivo e o “c” é o próprio -12. Aqui colocando já está a formula completa. Trago para cá o “b”, claro que eu respeito esse sinal, lá está positivo então fica negativo aqui, se lá estivesse negativo, iria ser menos com menos, regrinha de sinal, ele passaria a ser positivo. Mas no caso ele já é positivo, então ele fica negativo. “b” ao quadrado, -4 vezes 1 que é o elemento “a” e -12 que é o elemento “c”. Notem que o -12 com o -4, vai ficar positivo, dá 48 com 1, fica 49 dentro da raiz. Embaixo, vou ter 2 vezes “a”, como “a” é 1, vou ter o próprio 2. Raiz de 49 dá 7, notem mais ou menos, eu tenho que respeitar porque eu vou ter duas raízes, dois resultados para essa equação de segundo grau. Então separo uma raiz, a x linha, como o pessoal costuma usar, a parte positiva, a ordem não interessa, pode ser a positiva ou negativa, o pessoal costuma usar a positiva primeiro e a parte negativa no final, então -1+7 dá 6/2 eu tenho uma raiz 3, então o -1-7 vai me dar -8/2 então eu vou ter uma raiz como -4.  Ok? Então esses seriam os resultados, quando solicita pra resolver esse tipo de equação. Então eu trouxe um exemplo de cada, do primeiro grau e do segundo grau, para que vocês tenham uma noção da resolução e das necessidades antes de chegar nesse caso na formula de baskara. Agora tentando fazer claro, um apanhado, não da pra gente revisar todo o conteúdo de uma vez, então a gente já entra agora, num pouquinho de funções e entramos aí em algumas análises que vocês acompanharam pelo livro. Vamos definir, vamos trabalhar. Como que a gente pode entender de função, como a gente pode aplicar, quando a gente tem a necessidade de analisar lucro, custo, fazer acompanhamento de poupança, investimento, ou se quer fazer cálculos pra ver custo de diária de locação de automóveis, e varias outras citações, desde consumo e produção aí vai uma gama de situações que podemos tentar simplificar a relação e montar um modelo matemático, ai que entra o que a gente chama de função. Função é essa representação que a gente chama de um modelo matemático que representa a relação entre duas variáveis. A gente vai trabalhar, a gente vai ter três representações: a linguagem algébrica, aquele modelo que você viram no livro, onde envolve números e letras; a gráfica, com representação com linhas e curvas dessa relação, e tabela, que ainda pode ser representada por diagramas e outros tipos de representações. Como que a gente representa a escrita algébrica? y=f(x) ta certo? Onde vou ter modelos de diversas formas, primeiro grau, segundo grau, exponencial, logarítmica, modular e assim por diante, o x que é a variável que vai a direita, chamamos de variável independente e o y é a dependente, ou seja, a gente costuma atribuir valor para “x”, “y” depende de “x” para ser conhecida, a gente formaliza a gente usa como notação ou uma regra dizendo que “y” é dada como depende e “x” como independente, bom, a definição formal que a gente diz a função f de “A” e “B”, ou seja do conjunto “A” para o conjunto “B” é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder ao elemento de “B” a gente diz que é uma relação em que tem uma definição bem especifica para cada elemento de A eu tenho somente um elemento de B que no caso é o conjunto Y, como a gente lê esse termo: eu tenho “f”, é uma relação de A e B onde cada elemento x se relaciona com o elemento y segundo o modelo matemático f(x), onde cada elemento de “x” só tem um elemento de “y”, essa é minha definição formal, ou seja, cada “x” vai resultar somente em um “y”. Domínio é o conjunto A de partida, os valores de “x” onde a condição existe, denominado por D(f), e imagine é o conjunto de valores de “y” não é todo o conjunto que a gente chama de contradomínio, é só os valores onde chegam decorrentes daqueles valores de “x”, chamamos de Im(f), ou Im(x) também é usado, então é os valores de chegada a imagem e o domínio é o valor de saída, digamos assim. Então ele pede pra calcular a imagem dos pontos -3 , 0, 1 e 5, a imagem, é um pouco diferente do que a gente definiu aqui como conjunto imagem, imagem é um valor único de “y” decorrente do valor de “x”. o que a gente faz para calcular a imagem? É a mesma coisa do valor de função, onde tem “x” eu substituo por aquele valor indicado acima, a função dali é f(x)=1/x, uma equação racional, no primeiro caso vou substituir lá no “x” por -3, ficando assim: f(-3)= -1/3 então a imagem para -3 é -1/3. Agora o que acontece se a gente substituir por zero aqui? Note que ficaremos com o 0 em baixo e não é possível dividir por zero, então isso indica que o 0 não faz parte do domínio da minha função porque não existe divisão por zero. A função para 0 não existe, não tem como calcular isso, podemos indicar que 0 não pertence ao domínio da função. Vamos para o próximo que é o numero 1. f(1)=1/1=1 não esquecendo de substituir tudo que é “x” por 1. Então a imagem de f(1) = 1. A mesma coisa com o 5, todos os lugares que aparecem o “x” eu substituo por 5, então eu vou ter como imagem de f(5)=1/5. É importante notar que nem todo valor que atribui a função “x” tem a possibilidade de ser calculado o valor, isso vai depender do domínio, que não os valores possíveis para “x”. concluindo o domínio de f, vai ser o conjunto dos reais, porque eu posso colocar qualquer outro numero aqui positivo ou negativo, mas não o zero, então a gente coloca aqui os conjuntos reais menos o 0 ou ainda o domínio de f é “x” tal que “x” diferente de 0. Vamos ver agora a representação gráfica dela, como é que ela fica e tentar fazer uma descrição da função, então o domínio R-0, vamos tentar analisar isso graficamente, vemos o domínio do eixo “x” (slide 13) puxamos aqui como se fossem retas imaginarias passando pelo x de forma perpendiculares e vemos onde toca o gráfica do lado direito e esquerdo, vemos que o 0 vai mas não passo pro outro lado, ou seja o 0 não faz parte do domínio então não tem valor pra 0 que vá me dar uma representação gráfica. Vamos fazer a analise semelhante para a imagem, a imagem são os valores de “y” consequentes dos valores de “x” vamos pensar agora de forma similar só que na horizontal como se tivesse uma reta e onde toca em “y” vejam que próximo toca, mas aqui no 0 era não toca. Passa pertinho mas não chega a tocar no 0. Cada função é diferente, vai depender muito do modelo matemático e da representação gráfica dela. Crescimento, porque eu coloquei que não possui, conforme analisamos da esquerda para direita, o gráfico vai descendo e pula, a gente só analisa as curvas, que estão descendo, temos um caimento de curvas que é decrescente, que vai de –infinito a zero aberto, e do zero a mais infinito porque salta daqui pra cá. Então ela tem dois intervalos de decrescimento separados por causa dessa descontinuidade do zero. Sinal da função, a gente analisa o que está em cima positivo e o que está em baixo negativo, então positivo, x vai de perto do zero até mais infinito onde estão a cima do eixo x. Negativa quando ela está a baixo, vai de menos infinito até perto de zero, notem que a leitura é da esquerda para a direita. Raízes é o zero da função onde intercepta o eixo “x”, como ela não toca o eixo “x” então ela não tem raiz, só teria raiz no pronto que passasse pelo eixo “x”. (slide 14) é uma função do terceiro grau, também entrando nessa parte de analise, para dar umas dicas porque terá questão na AD. Vamos fazer uma analise completa, primeiro temos que analisar que a função não termina nos pontos, ela continua até onde não aparece mais. Então temos que pensar no domínio “x” certo? vamos lá então vamos analisar no eixo “x” eu vou colocar a reta aqui porque a função continua, certo? valores de “x” quanto mais eu afasto mais o “y” vai subindo, então eu tenho de menos infinito a mais infinito para o domínio, que representamos como o conjunto dos reais, uma dica: toda função o domínio é os reais, o domínio, a imagem não, mas a imagem são os valores de “x”, vamos analisar aqui as linhas horizontais, quando mais eu subo também vai de menos infinito a mais infinito, então vai ser o conjunto dos reais, lembram das raízes que eu falei onde o gráfico da função é zero, ou onde intercepta o eixo “x”. esses valores são os de “x”, no caso -1, 0 e 3, são as três raízes. Crescimento e decrescimento, diferente da anterior, temos ali parte crescente e decrescente aqui como não indica valores temos que colocar valores aproximados, se for indicado ponto ai colocamos o ponto. Crescente, vemos que ela é crescente até perto de ½ negativo e vai até 2 e volta a crescer de novo até infinito. O decrescimento a partir de -1/2 até o -2 a função para de crescer, e começa a decrescer. Então vamos separar a parte positiva do “x” e a negativa, temos duas partes positivas e duas negativas, vamos separar as positivas as partes a cima que vai de -1 a 0, tudo aberto então quando é zero não tem sinal nenhum, depois disso a partir do 3, ela está a cima, forma similar mas o contrario, notem que o menos infinito até -1 ela fica a baixo depois do 0 até o 3 ela fica em baixo também. Ok? Vamos lá, então tentei fazer uma analise de forma rápida e como fica parecido da AD. Dois tipos de funções, separei em duas letras, então vamos chegar até o material da primeira AD, para tirar duvidas e então eu fiz aqui exercícios, e depois entro no resto que falta. Vamos trabalhar com a função do primeiro grau, ela tem um modelo especifico, o y=f(x)=ax+b. o que acontece? Primeiro grau porque o expoente do x é 1, e temos o coeficiente “a” (angular) e o “b” (linear). O que isso ajuda? O “a” é como tá variando, como está mudando, como está crescendo ou decrescendo, e o “b” é onde corta o eixo “y”, se formos representar graficamente o b vai ser onde intercepta o eixo do “y”. Vamos ver algumas características, assim como uma reta corta o eixo “y” em b e o eixo “x” em –b/a que é a raiz da função que é só igualar a 0 e isolar o “x”, os domínios é os reais e a imagem também em uma forma completa. Então aqui trouxe exemplo de representação gráfica de uma função f(x)=-2x+6  a primeira característica mais fácil de perceber é que corta o eixo “y” em 6, ou seja no ponto 0 para “x” e 6 para “y”, isolando e igualando a 0, como a de primeiro grau, dessa forma terão o valor de “x, e quer dizer que o par ordenado que a gente tem é 3 para “x” e 0 para “y” então temos um par ordenado 0 e 6 e esse aqui que vai ser o par ordenado 3 e 0, achei dois pontos e para traçar uma reta que é a representação gráfica é só juntar os pontos com uma régua e uma caneta.

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