ATPS Equações Diferenciais
Ensaios: ATPS Equações Diferenciais. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: Demetino12 • 19/3/2014 • 1.145 Palavras (5 Páginas) • 445 Visualizações
Faculdade Anhanguera de Sumaré
Equações Diferenciais e Séries
Atividades Práticas supervisionadas
Sumaré
2013
Trabalho elaborado por:
Aluno RA
Bruno Cesár Dementino xxxxxxxx
Profº: xxxxxx
Introdução
No circuito RC conforme figura 1, a relação entre as tensões da fonte v1, do resistor vR e do capacitor vC é dada pela lei das tensões de Kirchhoff.
v_1 (t)= v_r (t) + v_c (t)
Das relações básicas da eletricidade:
v_R (t) = R i(t)
V_C (t)=1/C q(t)=1/C ∫_0^t▒i(τ)dτ
Substituindo em,
v1(t) = R i(t) + v_c (t)
Aplicando a Transformada de Laplace,
V_1 (s) = R I(s) + V_c (s)
Aplicando a Transformada de Laplace em,
V_C (s)=1/Cs I(s)
Combinando, com a eliminação de I(s), obtém-se a relação entre as tensões do capacitor e da fonte:
(V_C (s))/(V_1 (s))=1/(RCs+1)=(1/RC)/(1/RC+s)
O circuito da figura 1 é o mesmo da figura 2, com a inclusão de uma fonte no circuito. Considerando a tensão da bateria unitária, pode-se dizer que a tensão v1(t) é a função degrau unitário u(t).
Portanto,
V_1 (s)=1/s
Substituindo em
V_C (s)=1/s (1/RC)/(1/RC+s)
Usando o método das frações parciais,
V_C (s)=k_1/s+k_2/(1/RC+s)
Calculando os coeficientes,
V_C (s)=1/s+(-1)/(1/RC+s)
Determinando a transformada inversa,
V_C (t)=1-e^((-t)/RC)
Considera-se agora, conforme figura 4, um elemento genérico de circuito, pelo qual circula uma corrente i(t), que produz uma diferença de potencial v(t) entre seus terminais.
Figura 4: Transformada de uma Impedância. (DORF, 2001)
A parte (b) da figura é a aplicação da Transformada de Laplace para as variáveis anteriores. A impedância desse elemento é definida como:
Z(s)=(V(s))/(I(s))
Para um resistor de resistência R, segundo a lei de Ohm, v(t) = R i(t). Portanto, V(s) = R I(s)
e a impedância é:
Z_R (s)=R
Para um capacitor de capacitância C, segundo a relação anterior,
Z_C (s)=1/Cs
Para um indutor de indutância L, segundo relação do eletromagnetismo, conforme figura 5:
v(t) = L di(t)/dt.
Portanto,
V(s) = Ls I(s)
e a impedância é:
ZL(s) = Ls
Associações de impedâncias comportam-se como associações de resistências.
No exemplo da figura 5, a impedância entre os pontos a e b é dada por:
Z_ab=Z_L+1/(1/Z_R +1/Z_C )
Substituindo,
Z_ab=Ls+1/(1/R+Cs)=(RLCs^2+Ls+R)/((RCs+1))
No exemplo com amplificador operacional da figura 6, o circuito funciona como integrador para o Amplificador operacional:
V_0 (t)=-1/RC ∫▒〖V_i dt〗
Figura 6: Amplificador Operacional Integrador
Aplicando a Transformada de Laplace,
V_0 (s)=-1/RC 1/s V_i (s)
Para uma equação diferencial do tipo:
y''(t) + y(t) = cos t
As condições iniciais são: y'(0) = y(0) = 0
Da transformada de derivadas, conforme as condições iniciais informadas:
L{ y''(t) } = s^2 L{ y(t) } - s y(0) - y'(0) = s^2 L{ y(t) }
Aplicando a transformada em ambos os lados e substituindo,
s^2 L{ y(t) } + L{ y(t) } = (s^2 + 1) L{ y(t) } = L{ cos t }
Portanto,
Y(s)=L{y(t) }=1/(s^2+1) L{cos〖(t)〗 }=L{sin〖(t)〗 }L{cos〖(t)〗}
Através destes exemplos demonstram-se algumas das regras para o cálculo da Transformada de Laplace diretas e de frações parciais aplicadas às funções de vários tipos de ordem n, integrais e diferenciais.
1.3 Função de Transferência
A aplicação das leis físicas aos sistemas dinâmicos forma um sistema de equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema. Na figura 7, observam-se dois blocos em a) domínio do tempo e b) domínio complexo. A definição de Função de Transferência
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