Os Juros Simples

AULA 8: JUROS COMPOSTOS

1. Juros Compostos
2. Cálculo do Montante
3. Cálculo dos Juros
4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva

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O Conceito de Juros Compostos

No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros. No regime de juros compostos, o juro gerado pela aplicação agrega-se ao principal passando a participar na geração de juros no período seguinte. Os juros são capitalizados e não só o capital inicial rende juros, mas também os juros a ele agregados anteriormente.

Exemplo:

Seja um principal de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 20% ao ano por um período de 4 anos a juros simples e compostos.

Período	Juros Simples	Montante Simples	Juros Compostos	Montante Composto
1	1.000 x 0,2 = 200	1.200	1.000 x 0,2 = 200	1.200
2	1.000 x 0,2 = 200	1.400	1.200 x 0,2 = 240	1.440
3	1.000 x 0,2 = 200	1.600	1.440 x 0,2 = 288	1.728
4	1.000 x 0,2 = 200	1.800	1.728 x 0,2 = 346	2.074

 

No exemplo acima percebemos que, no regime de juros compostos, o valor inicial de um período é o montante do período anterior; enquanto que no regime de juros simples o valor inicial é sempre o mesmo.

Verificamos, pois, que a formação do montante no juros simples é linear, enquanto na de juros compostos é exponencial. Veja a diferença através dos dois gráficos a seguir. O primeiro apresenta um capital C aplicado a uma taxa de juros simples e o segundo o mesmo capital aplicado à taxa de juros composta.

[pic 1]

[pic 2]

Cálculo do Montante

O valor do montante em determinada data futura é dado por:

          

        M = C ( 1 + i ) n

Onde:

M = montante composto;

C = capital inicial;

i = taxa de juros composto por período de capitalização;

n = número de períodos de capitalização.

 

Por inversão de fórmulas, temos que:

[pic 3]

Cálculo dos Juros

O juro composto pode ser calculado pela seguinte fórmula:

         [pic 4]

Onde:

J = juros compostos;

C = capital inicial;

i = taxa de juros composto por período de capitalização;

n = número de períodos de capitalização.

Exemplo

Qual o capital que no prazo de 3 meses e à taxa de 4% a.m. paga uma remuneração de R$ 20,00?

[pic 5]

Valor Atual

O valor atual corresponde ao valor da aplicação em uma data anterior à do vencimento.

No sistema de juros composto, o valor atual pode ser calculado em qualquer data focal inferior à data do montante, não precisando ser necessariamente a data zero. O cálculo do valor atual neste regime nada mais é que a operação inversa do cálculo do montante.

Taxas Equivalentes

De modo semelhante ao regime de juros simples, neste regime também existem taxa de juros referentes a diferentes períodos de capitalização, mas que levam ao mesmo montante. Aqui também são chamadas de taxas equivalentes. Neste caso, para transformar uma taxa anual em uma taxa equivalente referente a um período menor em vez de dividir, extrai-se a raiz referente ao número de vezes que o período menor cabe no maior.

Exemplo:

i = 0,36 a.a =

= [(1 + 0,36)1/12 - 1] ao mês =

= [(1 + 0,36)1/6 - 1] ao bimestre =

= [(1 + 0,36)1/3 - 1] ao quadrimestre =

= [(1 + 0,36)1/2 - 1] ao semestre =

= [(1 + 0,36)5/12 - 1 ] a cada cinco meses

 

Mas para transformar uma taxa anual em uma taxa equivalente referente a um período maior que o ano, em vez de multiplicar eleva-se à potência referente ao número de anos que cabem no período maior.

Exemplo:

i = 0,36 a.a =

= [(1 + 0,36)2 - 1] ao biênio =

= [(1 + 0,36)3 - 1 ] ao triênio =

= [(1 + 0,36)5 – 1] ao qüinquênio =

= [(1 + 0,36)2,5 - 1] a cada dois anos e meio =

= [(1 + 0,36)17/12 - 1] a cada um ano e cinco meses

 

Convenções Linear e Exponencial

Períodos Não-Inteiros: Convenção Linear e Convenção Exponencial

Se considerarmos as capitalizações como descontínuas - ou seja, os juros são considerados formados apenas ao fim de cada período de capitalização –, devemos considerar a hipótese de que podem existir prazos de aplicação que não sejam um número inteiro de períodos. Para esses casos, na prática, adotam-se duas convenções:

Convenção Linear: é aquela que os juros do período não-inteiro são calculados por interpolação linear (a parte inteira é calculada normalmente pelo tratamento exponencial de juro composto);