Trabalho de Análise Combinatória

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Análise Combinatória

Trabalho de pesquisa referente à disciplina de Matemática sob a orientação do professor Clodomir José de Abreu.

Mongaguá/SP

26/04/2016

Carlos Henrique Ferreira Viana de Jesus

Guilherme de Souza Aguiar

Marcelo Fujii

Renato Granero

Ruan Baptista Bezerra

Vitor Santos Vicente

Sumário

Introdução        

Análise Combinatória        

Arranjo Simples        

Permutação Simples        

Permutação com repetição        

Combinação Simples        

Referências Bibliográficas        

Introdução

A presente pesquisa e uma possível posterior apresentação têm como objetivo explicar e lecionar o leitor e/ou o público alvo sobre a Análise Combinatória e suas aplicações no cotidiano.

Em alguns sites, para acessar certos conteúdos, é necessária a realização de um cadastro, para que sejam fornecidos ao usuário um login e uma senha.

A senha fornecida por certo site é composta por quatro letras e três algarismos, nessa ordem. Sabendo que são utilizadas 26 letras e 10 algarismos, quantas senhas diferentes podem ser fornecidas por esse site?

Situações como esta, que envolvem a contagem dos possíveis agrupamentos dos elementos de um ou mais conjuntos, podem ser resolvidas com o auxílio de uma parte da matemática conhecida como Análise Combinatória, que será apresentado nesta pesquisa.

Análise Combinatória

        

As primeiras atividades matemáticas da humanidade estavam ligadas à contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. A Análise Combinatória é a área da matemática que trata dos problemas de contagem.

        Vejamos um problema que envolve contagem:

Exemplo

Uma moeda tem duas faces: cara (K) e coroa (C). Lança-se uma moeda três vezes seguidas e observa-se qual face ficou voltada para cima. Quantos resultados são possíveis?

Resolução: Vamos resolver esta questão construindo uma tabela de dupla entrada (vale ressaltar que também podemos resolver com a árvore de possibilidades e o diagrama de Venn, mas veremos isto mais para frente).

1º LANÇAMENTO	2º LANÇAMENTO	3º LANÇAMENTO	RESULTADOS           POSSÍVEIS
K	K OU C	K OU C	KKK, KKC, KCK, KCC
C	K OU C	K OU C	CCC, CCK, CKC, CKK

Logo, percebe-se que são possíveis 8 resultados diferentes.

Exemplo        

Agora, preste bem a atenção neste segundo exemplo. Ele pode ser resolvido com a técnica explicada no exemplo anterior ou utilizando o Princípio Multiplicativo.

 Quantos são os números de três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos 2,5 e 7?

Resolução: Utilizando o mesmo método do exemplo 1, temos:

CENTENA	DEZENA	UNIDADE	NÚMERO FORMADO
2	5 OU 7	7 OU 5	257, 275
5	2 OU 7	7 OU 2	527, 572
7	2 OU 5	5 OU 2	725, 752

Logo, percebe-se que são possíveis 6 algarismos.

Podemos resolver também utilizando o método do Princípio Multiplicativo. Veja:

         Centena                                    Dezena                            Unidade

(3 algarismos possíveis) (2 algarismos possíveis)    (1 algarismo possível)

Utilizando o princípio multiplicativo, temos:

3 . 2 . 1 = 6 possibilidades

        Até agora resolvemos exercícios simples. Vejamos agora um exercício de vestibular.

 (PUC-MG) As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M={3,4,6,7,8}. Nessas condições, é correto afirmar que o número máximo de apartamentos desse hotel é:

a) 24                              b) 36                                   c) 44                              d)50

Resolução: Pelo enunciado, percebemos que os números dos apartamentos do hotel são formados por 3 algarismos e que este número seja ímpar. Analisando, percebemos que para que o número formado seja ímpar, ele deve terminar em 3 ou 7 (dentre os números do conjunto citado no enunciado). Usando o princípio multiplicativo, temos as possíveis combinações:

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       d                                

Como o número precisa ser ímpar, temos duas possibilidades na última casa (3 ou 7). Nas outras duas casas, como o número pode ser repetido, teremos 5 possibilidades em cada uma. Utilizando o princípio multiplicativo, temos: 5 . 5 . 2 = 50 números possíveis, logo, alternativa D.

Fatorial

        Em algumas situações da análise combinatória, é necessário calcular o produto entre números naturais consecutivos. Para representar esses cálculos, utilizamos a notação n! (lê-se: “fatorial de n” ou “n fatorial”).