ATPS Cálculo 3

Etapas 1 e 3 – passo 1

História da integral

O calculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Em um problema de cubatura a integral é usada para determinar o valor exato de um solido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas.

Entre os diversos nomes que, decerta forma, moldaram a integral como a conhecemos hoje, pode-se citar: Hipócrates de Chios (aprox. 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas e encontrou a áreas de certas lúnulas (região parecida com a lua próxima de seu quarto crescente). Antiphon (cerca de 430 A.C.) que alegou poder encontrar a área de um circulo com uma sequencia infinita de polígonos regulares inscritos, com cada vez mais lados, mas como sua quadratura exigia infinitos polígonos nunca poderia ser terminada sem o conceito moderno de limite. Ele deu origem ao método de exaustão. Arquimedes (287 – 212 A.C.) usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola, aproximando sua área com um grande número de triângulos.

Durante o período medieval no Ocidente as ideias de calculo foram aplicadas a problemas de movimento. William Heytesbury (1335) encontrou métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida por um corpo supostamente sob acerelação constante (atualmente, os mesmos resultados são obtidos encontrando duas integrais indefinidas e antiderivadas).

À medida que europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. Houve diversas soluções para esse problema, mas a solução mais famosa foi a projeção de Mercator, embora ele não tenha explicado seus princípios matemáticos. Aquela tarefa foi assumida por Edward Wright que também providenciou uma tabela que mostrava que as distancias ao longo das retas de rumo seriam bem aproximadas somando os produtos (sec f D f), onde f é a latitude; isto é, aproximadamente a integral de sec f.

Pierre Fermet (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das “parábolas de ordem superior” (y=kxn, onde k>o é constante e n=2, 3, 4, ...) usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y=kxn com valores de n negativos. Mas não conseguiu aplicar estes processos para “hipérboles de ordem superior”, ym=kxn.

Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Calculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.

Os avanços no calculo e uso de integrais foram baseados principalmente no uso dos métodos de exaustão e compressão para efetuar cálculos de áreas delimitadas por curvas.

Etapa 1 – Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: a33+3a3+3a da?

Fazendo a integral de cada um dos fatores:

a^3/3=a^4/4.3=a412

3a3=3a-3=3a-2-2=-32a2

3a=3lna

(b). Fa=a^4/12-3/2a^2+3lna + C

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10000 e um custo marginal de C’(q)=1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0)=10000, a alternativa que expressa C(q), o custo total pare