ATPS Cálculo II

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Etapa 1

Passo 1

O conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo t1 e t2 e está intimamente ligado à variação da posição. Se a posição de um objeto muda com o tempo, ele está animado de velocidade e se ele está em repouso, sua velocidade é nula. Digamos que, no tempo t1, a partícula estava em x1 e que, no instante t2, ele está em x2. Admitiremos t2 > t1. Definimos então a velocidade escalar média como a razão entre a variação da coordenada e o intervalo de tempo decorrido:

Observe-se que a velocidade escalar média sempre faz referência a dois instantes de tempo (por isso, falamos em média). No entanto, a velocidade na qual temos maior interesse é a velocidade num determinado instante de tempo. Tal velocidade é denominada velocidade instantânea. Para definirmos a velocidade instantânea, devemos recorrer a um conceito matemático conhecido como limite. Observemos que a velocidade média é definida tomando-se dois instantes de tempo. Para defini-la num determinado instante, basta tomarmos intervalos de tempo cada vez menores. Dessa forma estamos assegurando que, cada vez mais, não exista diferença entre t2 e t1. Portanto, estaremos falando, ao tomarmos o limite no qual tende a zero, de um só instante de tempo. Definimos, portanto, a velocidade instantânea no instante t1 através do processo limite:

Aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite dessa razão quando Δt tende a zero. A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está alterando naquele instante.

Exemplo: Para saber a velocidade instantânea do móvel no instante 6 s e o espaço percorrido, sabendo que a aceleração do mesmo é de 15m/s2, devemos utilizar as equações abaixo:

Somatória dos últimos algarismos do RA dos alunos do grupo:

Logo, a velocidade do móvel no instante 6s é igual a 90 m/s e o espaço percorrido foi de 140m, esta velocidade pode ser chamada de velocidade instantânea já que se refere ao instante 6s. As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesmo lógica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo expressada por .

Denominamos de aceleração instantânea o valor da aceleração média quando o intervalo de tempo torna-se muito pequeno, ou seja, a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo, ou ainda, a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Quando Dt e Dv tornam-se muito pequenos passamos a representá-los por e e conseqüentemente a aceleração instantânea será :

Significado:

Quando afirmamos que a aceleração de um móvel num determinado instante é 3m/s2 devemos entender que naquele instante