ATPS Cálculo Numérico

1.Objetivo

A ATPS desenvolvida tem um intuito de esclarecer o tema cálculo numérico e suas especificações, desmembrando o tema abordado de maneira alva. Seus subtítulos demonstram cada tema dentro do assunto principal. Os erros do cálculo número são esclarecidos um a um, sendo eles: erros inerentes ao modelo, inerentes aos dados, de truncatura, de arredondamento e truncatura, todos explicados claramente e inclusive foi anexo a esse trabalho um fluxograma para melhor visualização do tema abordado.

2.Introdução

O objetivo apresentado nesta etapa é de desenvolver e efetuar a divisão de cada parte do trabalho, deixando claro com fluxograma o tema abordado. Atingindo assim total e inquestionável esclarecimento de metas e cálculos através da exímia explicação teórica.

As idéias que o grupo desenvolveu com brilhantismo foram retiradas não só de livros e internet, mas também de trabalhos já efetuados anteriormente desta matéria, esclarecendo as dúvidas do grupo como um todo.

O tema cálculo número gera diversos tipos de dúvidas, até mesmo em profissionais experientes, por se tratar de matéria basilar, das quais o trabalho sana.

3. Desenvolvimento

Conceitos e princípios básicos de calculo numérico

Relembrar os conceitos básicos da álgebra linear irá facilitar a compreensão dos métodos numéricos. A maioria dos conceitos apresentados são de álgebra linear, e isso deve se ao fato de que os resultados da álgebra linear em geral, e da teoria dos espaços vetoriais, em particular, na análise numérica, são tão grandes que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica.

Inicialmente serão estudados o conjunto dos vetores da geometria, definidos através de segmentos orientados e o conjunto das matrizes reais m x n.

No conjunto dos vetores esta definida uma operação de adição dotada das propriedades associativa, comutativa, a existência do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto e a multiplicação de um vetor por um numero real:

α (u+v) = αu + αv,

(α+β)u = αu+βu,

(αβ)u = (αβu),

1*u = u,

Onde u, v são vetores e α,β são números escalares quaisquer.

No conjunto das matrizes valem as mesmas operações utilizadas no conjunto vetores.

α (A+B) = αA + αB,

(α+β)A= αA+βA,

(αβ)A= (αβA),

1 . A= A,

Logo o conjunto dos vetores e o das matrizes apresentam uma certa coincidência estrutural.

3.1 Espaço vetorial

Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguintes elementos:

1. Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.

2. Um conjunto V dotado de uma operação binária V x V em V. Os elementos de V serão chamados de vetores.

3. Uma operação de K x V em V.

Os seguintes axiomas (além de K ser um corpo) devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vetorial:

1. (u+v) + w = u + (v+w) para u, v e w elementos de V (associatividade)

2. Há um elemento 0 ∈ V tal que, para cada v ∈ V, v+0 = 0+v = 0 (existência de elemento neutro)

3. Para cada v ∈ V existe v ∈ V tal que, v+u = 0 (existência de elemento oposto)

4. Para cada v,u ∈ V, u+v = v+u (comutatividade)

5. Para cada a,b ∈ K e cada v ∈ V, a(b.v) = (a.b)v

6. Se 1 é a unidade de K então, para cada v ∈ V, 1.v = v

7. Para cada a ∈ K e cada v,u ∈ V, a(v+u) = a.v + a.u

8. Para cada a,b ∈ K e cada v ∈ V, (a+b).v = a.v + b.v

Os axiomas de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano. O elemento cuja existência é garantida pelo terceiro axioma é único (como em qualquer grupo) e representa-se por -v

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato. Para determinar se um conjunto V é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo K e definir adição em V e multiplicação por escalar em V. Então se V satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo K.

Em uma demonstração rigorosa, os axiomas 2 e 3 (elemento neutro e elemento oposto em V) podem ser omitidos, porque eles podem ser facilmente deduzidos a partir dos outros axiomas:

Sejam 0 e 1 os elementos neutros aditivo e multiplicativo de K.

Então, como 1.v = v qualquer que seja v, temos que 0.v + v = 0.v + 1.v = (0+1).v = 1.v = v, ou seja, 0.v é o elemento neutro de V

Em K, existe um elemento -1 tal que -1 + 1 = 0. Logo, (-1).v + v = (-1).v + 1.v = (-1 + 1).v = 0.v, ou seja, (-1).v é o elemento oposto de v.

3.2 Espaço Vetorial Euclidiano

Os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores, serão apresentados nesses capitulo. Conceitos estes que permitirão uma melhor compreensão do que seja uma base ortogonal em um EV e, principalmente, nos darão a noção de “medida” que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume, distância, etc.

Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distância do ponto P à origem O (0,0)

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos que d = √ x2 + y2. Podemos também, interpretar este resultado dizendo que o comprimento do vetor (x,y) é: || (x,y) || = √ x2 + y2

Se, ao invés de trabalharmos no R2, estivéssemos trabalhando no R3 (munidos de um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado uma expressão similar para o comprimento do vetor: || v || = √ x2 + y2 + z2

No caso