ATPS De Equação Diferenciais

INTRODUÇÃO

Nessa ATPS, apresentaremos a pesquisa detalhada, da teoria das Equações Diferenciais que é objeto de intensa atividade de pesquisa pois apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas ordinárias). Tudo visando a construção de um circuito elétrico.

OBJETIVO

Realizar um estudo sobre Equações Diferenciais, usando como exemplo Circuitos Elétricos, e a aplicação de Equações Diferenciais, para a criação e a solução de problemas da engenharia.

ETAPA 3

Circuitos Elétricos

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveis uma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

E o integral geral dessa equação tem a forma

ʃ = ʃ +C

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:

Chama-se equação diferencial linear de 1ª ordem a uma equação da forma

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR.

É usual designar por equação completa aquela em queQ(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função só de x, I(x, y)= e ∫P(x) dx

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx

Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é

e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x)

Note que o primeiro membro da equação acima é igual a

(ye∫P(x)dx)

Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja,

ye∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dx

ETAPA 4

Circuitos elétricos por meio de equações diferenciais

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t)

Para modelar um sistema elétrico precisaram conhecer os seus componentes elétricos passivos.

Relação elementar de voltagem:

Resistor (Lei de Ohm)

eA – eB = R iR

Indutor

eA – eB = L

Capacitor eA – eB =

L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei dos Nós e/ou a Lei das Malhas

Modelagem Matemática pelo Método dos Nós.

Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:

A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó

Modelagem Matemática pelo Método das Malhas.

Aplica-se a Lei das Malhas a cada malha do circuito elétrico:

A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual à soma das voltagens que são introduzidas na mesma malha.

Aplicações das Equações Diferenciais

É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Umadas primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemática foi feita pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a ideia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por onde k é uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples, embora não leve em conta muitos fatores que podem influenciar a população humana tanto em seu crescimento quanto em seu declínio, não obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsão dos Estados Unidos entre os anos de 1790 e 1860.

De acordo com a lei empírica de Newton do resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia e dT/dt a taxa segundo a qual atemperatura do corpo varia, a lei de Newton do resfriamento é convertida na sentença matemática

Entre outras tantas aplicações das equações diferenciais poderíamos citar casos como o decaimento radioativo do núcleo de um átomo, a disseminação de uma doença contagiosa em uma comunidade, a decomposição de substâncias químicas através de suas reações, a mistura de soluções com concentrações diferentes, a velocidade do fluxo de um líquido em um buraco com bordas na base de um tanque, o modelo matemático do movimento de um corpo em queda livre com e sem a resistência do ar etc. Além dos modelos matemáticos clássicos, podemos verificar modelos variados como a proporção de memorização de um certo assunto entre outros.

No nosso trabalho iremos enfatizar a aplicação das equações diferenciais em circuitos elétricos, de acordo com a lei de Kirchhorf, onde a tensão aplicada em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de tensão nesta malha.

CONCLUSÃO

Concluímos que neste trabalho foi possível estudar e aplicar conhecimentos matemáticos, científicos e tecnológicos à Engenharia. Verificamos também os usos da regra dos nós e da regra das malhas. Você Pode usar a regra dos nós quantas vezes foremnecessárias, desde que, cada vez que escreva uma equação, inclua nela uma corrente que não tenha sido usada em uma equação precedente da regra dos nós. Em geral, o número de vezes em que a regra dos nós pode ser usada é um a menos do que o número de nós no circuito. A Regra das malhas pode ser usada tão frequentemente quanto for necessário, desde que um novo elemento do circuito (um Resistor ou uma bateria) ou uma nova corrente apareça em cada equação nova. Em geral, o número de equações independentes de que você precisa deve igualar o número de correntes desconhecidas a fim de resolver um problema de circuito particular. A parte mais trabalhosa da solução não é o entendimento dos princípios básicos envolvidos, porém o uso correto dos sinais algébricos.