ATPS Equações Diferenciais

Capítulo 3

Equações Diferenciais de Ordem

Superior

3.1 Introdução

No capítulo anterior vimos como resolver analiticamente equações diferenciais

de primeira ordem, desde que pertencessem a uma classe especial, equações

de variáveis separáveis, lineares, exactas ou que por uma mudança de variável

fosse possível convertê-las em equações de uma destas classes. Vamos agora

abordar a questão da resolução analítica de equações diferenciais de ordem

superior. Uma equação diferencial de ordem n é uma equação envolvendo a

variável independente, uma função e as suas derivadas até à ordem n definidas

num intervalo I e escreve-se

t; y; y0

; y00; :::; yn1

; yn

= 0 (3.1)

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 39

yy00 + (y

0

)

2 = 0 (3.2)

ty00 + 2y

0 + t = 1 (3.3)

y

(4) + y

00 = 2t 5 (3.4)

Equações Diferenciais, uma Primeira Abordagem1 Equações Diferenciais Lineares e Homogéneas

Uma equação linear com a forma

an(t)y

(n)

(t) + an1(t)y

(n1)(t) + + a1(t)y

0

(t) + a0(t)y(t) = 0 (3.10)

diz-se uma equação diferencial de ordem n linear e homogénea.

No que se segue e sempre que façamos referência a esta equação vamos

admitir que

os coeficientes ai

; i = 0; :::; n são funções contínuas em I

an(t) 6= 0; 8t 2 I

Deste modo designamos por equação diferencial de ordem n, linear e

homogénea uma equação do tipo

y

(n)

(t) + pn1(t)y

(n1)(t) + + p1(t)y

0

(t) + p0(t)y(t) = 0 (3.11)

em que as funções pi são funções contínuas em I.

Teorema 3 A função nula é solução de qualquer equação diferencial de ordem n linear e homogénea.