ATPS Equações Diferenciais
Pesquisas Acadêmicas: ATPS Equações Diferenciais. Pesquise 861.000+ trabalhos acadêmicosPor: Alessandravelino • 1/4/2014 • 2.560 Palavras (11 Páginas) • 282 Visualizações
Introdução
As equações diferenciais constituem uma ferramenta importante na modelagem de problemas naturais. Vários problemas físicos, químicos, ecológicos, econômicos e biológicos são descritos através das equações diferenciais; Para se estudar a teoria sobre existência de solução para equações diferenciais ordinárias é necessário o conhecimento de algumas técnicas e resultados da análise matemática como a convergência de sequências de funções, que iremos estudar nas etapas a seguir.
Etapa 1
Passo 1:
Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.
A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.
A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.
Passo 2
Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.
Método de conjecturar e verificar
Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.
Método por substituição
Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira
Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx
No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.
Método Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Passo 3
Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).
Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:
A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:
- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.
- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.
Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.
Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:
g(y) dy = f(x)dx
A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,
∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.
Chama-se equação de variáveis separáveisuma equação do tipo:
F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy
Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.
Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:
=
E o integral geral dessa equação tem a forma
ʃ = ʃ +C
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:
Chama-se equação diferencial linear de 1ªordem a uma equação da forma
y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR.
É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0
A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:
Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.
Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função sóde x, I(x, y)= e ∫P(x) dx
Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:
Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx
Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é
e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x)
Note que o primeiro membro da equação acima é igual a
(ye∫P(x)dx)
Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja,
ye∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dxdx
Passo 4
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