ATPS Álgebra

1. ETAPA 1: Matrizes e Determinantes

1.1 O que é determinante?

(passo 3)

É um numero real associado a uma matriz por meio de operações algébricas.

É a soma algébrica dos produtos que se obtêm, efetuando todas as permutações dos segundos, índice do termo principal fixados aos primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou -, conforme a permutação do segundo índices, seja de classe par ou de classe impar.

Para obter o determinante de uma matriz, devemos multiplicar todos os elementos da diagonal principal obedecendo as regras de sinais e subtrair da diagonal secundária.

A ordem de uma determinante é a ordem da matriz a que a mesma corresponde. Assim, se a matriz é de ordem 3, por exemplo, o determinante será de ordem 3. Portanto ela possui (3 linhas e 3 colunas).

A representação do determinante de uma matriz A, que será designada por Det. A, faz-se de maneira análoga a da matriz, colocada entre dois traços verticais.

1.2 Propriedades de determinantes

Exemplo 1: O determinante de uma matriz é igual o determinante de sua transposta.

A=

a b c

d e f = aei + bfg + cdh – ceg – afh - bdi

g h i

At =

a d g

b e h = aei + dhc + gbf – gec – ahf - dbi

c f i

Exemplo 2: Se há uma linha ou uma coluna nula, o determinante será 0.

a b c 0 b c

0 0 0 0 e f

d e f ou 0 h i det.= 0

Exemplo 3: Se uma fila for proporcional a outra paralela a primeira, o determinante será nulo.

Teorema de Jacobi

P2 ( propriedade 2)

(x-k) a b c a b c

d e f = d e f = 0

ka kb kc 0 0 0

Exemplo 4: Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas, então det (A) é a soma de dois determinantes de ordem n, cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas e, repetindo as demais linhas ou colunas.

A= a b c a b c a b c

d e f = d e f + d e f

g+j h+k i+l g h i j k l

det. A = ae (i+l) + bf (g+j) + cd (h+k) – ce (g+j) – af (h+k) – bd (i+l)=

= (aei + bfg + cdh – ceg – afh - bdi)+(ael + hfj + cdk – cej – afk - bdl)

Exemplo 5: Produto de uma fila por constante

αa αb αc a b c

d e f = α. d e f

g h i g h i

αaei+ αbfg+ αcdh- αceg- αafh- αbdi

α aei+bfg+cdh

-ceg-afh-bdi

Exemplo 6: Produto de uma matriz por constante

Det.(αA)= α^n.detA, onde n é a ordem de A

Se A= ordem 2x2, det(2 A)= 2². det (A)

det(4 A)= 4². det (A)

Exemplo 7: Produto de Determinantes

Se A e B são matrizes quadradas, det(A.B)=det(A).det(B)

Exemplo 8: se a matriz for triangular, o determinante será a multiplicação dos elementos da diagonal principal.

a b c

0 d e Det.= adf

0 0 f

1.3 Matriz de Ordem 2x2 e 3x3

(Passo 4)

Matriz 2x2

Det A= 6 4 2º

3 5 1º = 6x5-3x4 =18

Matriz 3x3

Det A= 2 4 1 2 4

3 5 6 3 5

4 3 1 4 3

Det