Al Potenciais

A. Tabela da soma dos algarismos das potências

1. Montemos uma tabela de potenciação como a mostrada abaixo:

xy 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y

x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81

x3 1 8 27 64 125 216 343 512 729

x4 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561

x5 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049

x6 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441

x7 1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969

x8 1 256 6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721

x9 1 512 19683 262144 1953125 10077696 40353607 134217728 387420489

2. Em seguida somemos os algarismos de cada potência obtida na tabela; se a soma der um número com 2 ou mais algarismos, tornamos a somar até que fique apenas 1 algarismo, como no exemplo abaixo:

No caso do número 32:

32  3+2 = 5

No caso do número 1296:

1296  1+2+9+6 = 18

18  1+8 = 9

Fazendo isto com todas as potências obtidas na tabela anterior, obteremos esta tabela:

xy 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y

x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x2 1 4 9 7 7 9 4 1 9

x3 1 8 9 1 8 9 1 8 9

x4 1 7 9 4 4 9 7 1 9

x5 1 5 9 7 2 9 4 8 9

x6 1 1 9 1 1 9 1 1 9

x7 1 2 9 4 5 9 7 8 9

x8 1 4 9 7 7 9 4 1 9

x9 1 8 9 1 8 9 1 8 9

3. Agora vamos ampliar esta tabela até a base 18 e até o expoente 13 (já com os números obtidos através da soma de algarismos das potências demonstrada no passo 2):

xy 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y 10y 11y 12y 13y 14y 15y 16y 17y 18y

x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x2 1 4 9 7 7 9 4 1 9 1 4 9 7 7 9 4 1 9

x3 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9

x4 1 7 9 4 4 9 7 1 9 1 7 9 4 4 9 7 1 9

x5 1 5 9 7 2 9 4 8 9 1 5 9 7 2 9 4 8 9

x6 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9

x7 1 2 9 4 5 9 7 8 9 1 2 9 4 5 9 7 8 9

x8 1 4 9 7 7 9 4 1 9 1 4 9 7 7 9 4 1 9

x9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9

x10 1 7 9 4 4 9 7 1 9 1 7 9 4 4 9 7 1 9

x11 1 5 9 7 2 9 4 8 9 1 5 9 7 2 9 4 8 9

x12 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9

x13 1 2 9 4 5 9 7 8 9 1 2 9 4 5 9 7 8 9

4. Observamos então que 6 sequências numéricas repetem-se horizontalmente e verticalmente ao longo da tabela:

xy 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y 10y 11y 12y 13y 14y 15y 16y 17y 18y

x1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x2 1 4 9 7 7 9 4 1 9 1 4 9 7 7 9 4 1 9

x3 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9

x4 1 7 9 4 4 9 7 1 9 1 7 9 4 4 9 7 1 9

x5 1 5 9 7 2 9 4 8 9 1 5 9 7 2 9 4 8 9

x6 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9

x7 1 2 9 4 5 9 7 8 9 1 2 9 4 5 9 7 8 9

x8 1 4 9 7 7 9 4 1 9 1 4 9 7 7 9 4 1 9

x9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9 1 8 9

x10 1 7 9 4 4 9 7 1 9 1 7 9 4 4 9 7 1 9

x11 1 5 9 7 2 9 4 8 9 1 5 9 7 2 9 4 8 9

x12 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9 1 1 9

x13 1 2 9 4 5 9 7 8 9 1 2 9 4 5 9 7 8 9

Assim como eu já calculei, se expandirmos a tabela, tanto horizontalmente como verticalmente, estas sequências numéricas continuam se repetindo, formando uma espécie de padrão válido para todas as potências.

5. Com isto podemos formular uma tabela única onde encontramos a soma dos algarismos de cada potência existente (utilizando a função mod, que retorna o resto de uma divisão):

xy Base mod 9 = 1 Base mod 9 = 2 Base mod 9 = 3 Base mod 9 = 4 Base mod 9 = 5 Base mod 9 = 6 Base mod 9 = 7 Base mod 9 = 8 Base mod 9 = 0

Expoente mod 6 = 2 1 4 9 7 7 9 4 1 9

Expoente mod