Algoritmo

1 Apresentação

Neste texto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O texto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para disciplinas relacionados ao Cálculo (ou que usem os conceitos do Cálculo).

2 Introdução

Alguns conceitos e notações usados neste texto.

2.1 Notação innitesimal Usaremos a notação, f(a+) = lim x→a+

f(x) e f(a−) = lim x→a−

f(x) enquanto que o valor no ponto a é

f(a). Da mesma forma, f(∞) = lim x→∞

f(x) e f(−∞) = lim x→−∞

f(x). Espera-se que já tenha familiaridade com conceitos e notações básicos da aritmética innitesi- mal.

2.2 Função par e ímpar Note que uma função par é quando f(−x) = f(x) e é impar quando f(−x) = −f(x). As funções par e impar satisfazem:

• Soma das funções pares é uma função par.

• Soma das funções impares é uma função impar.

• Produto das funções pares é uma função par.

• Produto de duas funções impar é uma função ímpar.

• Toda função pode ser escrita de forma única como sendo a soma de uma função par com uma função ímpar. Mais especicamente, f(x) = fP(x) + fI(x) onde a parte par é fP(x) = f(x)+f(−x) 2 e a parte ímpar é fI(x) = f(x)−f(−x) 2 . • Se f é uma função par e é integrável no intervalo [−L,L] então R L −L f(x)dx = 2 R L 0 f(x)dx.

1

x

y f(x) = senh(x)

x

y

f(x) = cosh(x)

Figura 1: A função f(x) = senh(x) (ímpar) e f(x) = cosh(x) (par)

• Se f é uma função ímpar e é integrável no intervalo [−L,L] então R L −L f(x)dx = 0.

No caso de ex, a parte par é coshx =

ex + e−x 2

e a parte ímpar é senhx =

ex − e−x 2

. Para saber quem é coshx ou senhx, veja o valor no ponto 0 (sen0 = 0 e cos0 = 1) ou pela paridade (sen(−x) = −senx e cos(−x) = cosx) (veja a Figura 1).

2.3 Raiz do polinômio e zeros da função Dado um polinômio, o número (ou ponto) que anula o polinômio é denominado de raiz do polinô- mio. No caso da função não polinomial, o valor que anula a função é denominamos de zero da função para distinguir a sua natureza. Algumas das raízes e zeros das funções importantes são:

• n √ a é a raiz positiva do polinômio p(x) = xn − a. • π ∼ = 3.1416 é o menor zero positivo da função senx • e ∼ = 7183 é o zero da função lnx − 1

• i =

√

−1 é uma raiz do polinômio p(x) = x2 + 1 (no estudo da eletrônica, costuma usar j em vez do i para distinguir da corrente elétrica).

• O número de ouro φ = 1+ √

5

2

∼ = 1.6180 é a raiz positiva do polinômio p(x) = (2x − 1)2 − 5

3 Funções elementares

As funções elementares básicos são: as funções constantes, funções coordenadas, potenciação e radiciação inteira, trigonométrica, trigonométrica inversa, função exponencial e logarítmica. Uma

2

x

y f(x) = ax + b

Figura 2: A função ans

função é denominada de elementar quando pode ser obtido pela combinação através das 4 operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) e composição das funções elementares básicas. As funções elementares são bastante estudadas e é conhecido muito das suas propriedades. Quando um problema envolve uma função real, costumamos procurar expressões em termos das funções elementares para poder aplicar resultados conhecidos, juntamente com as técnicas de Cálculo. Quando uma função não é elementar, ainda podemos obter uma aproximação pela função elementar, o que costuma ser tratado no cálculo numérico e análise numérica.

3.1 Funções constantes (básica) É uma função cuja o resultado não depende da variável. Ela tem a forma F(x1,...,xn) = c onde c é um constante. Em uma variável, o gráco da função constante é uma reta horizontal na altura c. A derivada é sempre nula e no caso de uma variável, R kdx = kx + c.

3.2 As funções coordenadas (básica) São as funções que extraem as coordenadas, denidas como sendo πi(x1,...,xn) = xi para cada i. No caso das funções de uma variável, seria a função identidade. A partir das funções constantes e funções coordenadas, podemos construir algumas das funções elementares importantes:

• Funções lineares: É uma combinação linear das variáveis (a soma cuja termo são múltiplo das variáveis). A função linear tem a forma F(x1,...,xn) = a1x1 +···+anxn com an constantes. Para uso prático, as funções lineares costumam ser tratados como as funções elementares básicos.

• Funçõeslinearesans: Funçãolinearsomadopelafunçãoconstanteetemaforma F(x1,...,xn) = a1x1 + ··· + anxn + c com an e c constantes. No caso de uma variável, o gráco da função ans é uma reta. Reciprocamente, toda reta que não seja a reta vertical, é o gráco de uma função ans. No caso de duas variáveis, o gráco da função ans será um plano. Recipro- camente, todo todo plano que não seja os planos verticais são grácos de uma função ans (veja Figura 2).

3

x

y

f(x) = x2n

x

y f(x) = x2n+1

Figura 3: A função f(x) = x2n e f(x) = x2n+1

3.3 Potências inteiras (composição) É a função elementar do tipo y(x) = xn com n inteira (veja Figura 3). Apesar da potenciação inteira ser obtida pelas repetições dos produtos da função elementar