Apostila ESSA - Matemática

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

Matemática 1 A Opção Certa Para a Sua Realização

1) CONCEITOS E RELAÇÕES NUMÉRICAS

a) Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, reais e

complexos. Operações e propriedades. Fatoração. Razão e

proporção. Grandezas diretamente e inversamente

proporcionais. Aplicações.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. Conjunto dos números naturais

Chamamos de conjunto dos números naturais, e indicamos com

lN, o seguinte conjunto:

lN = { 0; 1; 2; 3; 4; ...}

2. Conjunto dos números inteiros

Chamamos de conjuntos dos números inteiros, e indicamos

com Z, o seguinte conjunto:

Z = { ...; -2; -1; 0; 1; 2;...)

3. Conjunto dos números racionais:

Chamamos de conjunto dos números racionais, e indicamos

com Q, o seguinte conjunto:

  

  

  | p,q  Z e q  0

q

p

Q x

Observe que os números racionais são aqueles que podem ser

escritos como quocientes de dois inteiros, isto é , como frações.

Exemplos

a)

1

5

=5; logo 5  Q

b)

5

2

= 0,4 ; logo 0,4  Q

c)

6

15

= 2,5 ; logo 2,5  Q

d)

3

1

= 0,333 . . . ; logo 0,333.. .  Q

Observação: Números como 5, 0,4 e 2,5 são números racionais

com representação decimal finita, ou seja, podemos escrevê-los,

em sua forma decimal, com um número finito de algarismos. O

número 0,333..., por sua vez, é um número racional com

representação decimal infinita e periódica, ou seja, só podemos

escrevê-lo, em sua forma decimal, com um número infinito de

algarismos, embora, a partir de um determinado ponto, haja uma

repetição de algarismos até o fim.

Outro exemplo de número, que admite representação decimal

infinita e periódica, é 2,35474747...

Observação Importante

Todos os números que tenham representação decimal finita ou

infinita e periódica são números racionais, ou seja, pertencem a Q..

4. Conjunto dos números reais:

Há números que não admitem representação decimal finita nem

representação decimal infinita e periódica, como, por exemplo:

n = 3,14159265...

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508... ( NÃO HÁ REPETIÇÃO )

5 = 2,2360679...

Estes números não são racionais: n  Q, 2  Q, 3 Q,

5  Q; e, por isso mesmo, são chamados de irracionais.

Podemos então definir os irracionais como sendo aqueles

números que possuem uma representação decimal infinita e nãoperiódica.

Chamamos então de conjunto dos números reais, e indicamos

com IR, o seguinte conjunto:

IR = { x Í x é racional ou x é irracional }

Como vemos, o conjunto IR é a união do conjunto dos números

racionais com o conjunto dos números irracionais.

Usaremos o símbolo estrela (* ) quando quisermos indicar que

o número zero foi excluído de um conjunto.

Exemplo: N * = { 1 ; 2; 3; 4; .. .} ; o zero foi excluído de N.

Usaremos o símbolo mais (+) quando quisermos indicar que os

números negativos foram excluídos de um conjunto.

Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foram excluídos de

Z.

Usaremos o símbolo menos ( - ) quando quisermos indicar que

os números positivos foram excluídos de um conjunto.

Exemplo: Z- = { ... ; -2; -1; 0 } ; os positivos foram excluídos de

Z.

Algumas vezes combinamos o símbolo (*) com o símbolo (+) ou

com o símbolo (-) .

Exemplos

a) *

 Z = { 1; 2; 3; . .. } ; o zero e os negativos foram excluídos

de Z.

b) *

 Z = { ... ; -3; -2; -1 }; o zero e os positivos foram

excluídos de Z.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1. Conceitos primitivos

Antes