Apostilas De Matémática

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U L A

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A U L A

Calculando distâncias

sem medir

No campo ocorrem freqüentemente problemas

com medidas que não podemos resolver diretamente com ajuda da trena.

Por exemplo: em uma fazenda, como podemos calcular a distância entre dois

pontos se existe um morro no meio?

l É claro que, observando o desenho acima, se esticarmos uma trena de A até

B, subindo e descendo o morro, encontraremos um valor maior que o correto.

Lembre-se de que quando falamos de distância entre dois pontos estamos

considerando que a medida foi feita sobre a reta que une esses dois pontos.

No nosso exemplo essa medida não pode ser calculada diretamente.

l Também na cidade, a altura de um edifício ou mesmo de um poste são

medidas difíceis de serem calculadas diretamente. Vamos mostrar, então,

que com o auxílio da semelhança de triângulos e do Teorema de Pitágoras

podemos descobrir distâncias sem fazer o cálculo direto das medidas.

Para determinarmos medidas no campo precisamos de uma trena, algumas

estacas, um rolo de barbante e, para algumas situações, um esquadro. As estacas

e o barbante formam triângulos; a trena mede os comprimentos, enquanto o

esquadro formará ângulos retos.

Acompanhe então os problemas desta aula e suas criativas soluções.

Introdução

distância AB

A B

?

Nossa aula

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A U L A EXEMPLO 1

A largura de um rio

Estamos em uma fazenda cortada por um rio bastante largo. Temos uma

trena de 20 m e a largura do rio parece ser muito maior que isso. O que podemos

fazer para determinar a largura desse rio? Observe o desenho.

As pessoas que vão fazer as medidas estão na parte de baixo do desenho.

Elas procuram na outra margem algum objeto para fixar a atenção. Imagine

então que uma das pessoas, estando no ponto A, veja uma pedra P do outro lado

do rio. Para determinar a distância AP fazemos o seguinte.

l Fixamos uma estaca no ponto A e amarramos nela um barbante. O barbante

é esticado até um ponto C qualquer, de forma que o ângulo PÂC seja reto;

l Fixamos uma estaca em C. Sobre o barbante esticado AC devemos agora

escolher um ponto B qualquer, que, de preferência, esteja mais próximo de

C que de A.

l Fixamos então uma estaca em B.

l Riscamos agora no chão uma reta que parte de C e faz ângulo reto com o

barbante, como mostra o desenho. Vamos caminhando sobre essa reta até

que a estaca B esconda atrás de si a pedra P que está do outro lado do rio.

Isto faz com que os pontos P, B e D do desenho fiquem em linha reta. Ora,

na margem de baixo todas as distâncias podem ser medidas. Suponha então

que os valores encontrados tenham sido os seguintes:

AB = 15 m

BC = 4 m

CD = 12,80 m

Observe o próximo desenho já com as medidas encontradas e os ângulos

iguais assinalados.

A C

D

B

P

x

15

4

12,8

P

A

B

C

D

rio

pedra

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Os triângulos ABP e CBD são semelhantes porque possuem os mesmos A U L A

ângulos. Logo, seus lados são proporcionais. Fazendo a distância AP igual a x

temos a proporção:

x

12,8

=

15

4

x =

12,8×15

4

= 48m

Falta pouco agora. Medimos então a distância da estaca A ao rio.

Suponha que encontramos PQ = 1,60 m (Veja o desenho.) Então, a largura

do rio é

PQ = 48 - 1,6 = 46,4 m

Tendo resolvido o problema da largura do rio, vamos ver agora como se

resolve o problema da distância entre dois pontos com o obstáculo no meio.

EXEMPLO 2

A distância entre dois pontos com um obstáculo no meio

Estamos ainda fazendo medições em nossa fazenda. Temos agora que

calcular a distância entre dois pontos A e B situados de tal maneira que, se