Atps Calcul0 3

INTRODUÇÃO

Nesta etapa conheceremos a histórias dos cálculos integrais definidas e indefinidas, suas definições, aplicações e execução de exercícios utilizando o aprendizado. Todos esses assuntos orientados pelo professor em sala de aula.

ETAPA 1.

PASSO 1

O SURGIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, asintegrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamadointegração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

O símbolo da integração é , um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:

e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:

.

Desde que a derivada da função y = x² + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante), então:

.

PASSO 2. Leiam os desafios propostos.

DESAFIO A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒(a^3/3+3/a^3 +3/a) da ?

F(a)=12a^4-3a^(-2)+ln⁡〖|3a|+C〗

F(a)=a^4/12-3/(2a^2 )+3 ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=a^4/12-2/(3a^2 )-3 ln⁡〖|a|+C〗

F(a)=12a^4+3/(2a^(-2) )+ln⁡|a|+C

F(a)=a^4+3/(2a^2 )+3 ln⁡|a|+C

RESOLUÇÃO:

∫▒(a^3/3+3/a^3 +3/a) =

a^3/3+3 .a^(-3)+3 .1/a › a^4/4.3+3 .a^(-2)/(-2)+3 .ln⁡|a|› R= a^4/12-3/(2a^2 )+3 .ln⁡|a|+C

RESPOSTA CORRETA ALTERNATIVA ( B ).

DESAFIO B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C′(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o

custo total para se perfurar q pés, é:

C(q)=10.000+1000q+25q^2

C(q)=10.000+25q+1000q^2

C(q)=10.000q^2

C(q)=10.000+25q^2

C(q)=10.000q+q^2+q^3

RESOLUÇÃO:

C(q)=∫▒(10.000+50 .q^2/2) C(q)= (10.000q+25q² )

C ´(q)= 1000+50q C ´(q)= 1000+(50q^2)/2 C ´(q)= 1000+25q²

C ( 0 ) =10.000

Ct = 10.000 + 1000q + 25q²

RESPOSTA CORRETA ALTERNATIVA ( A ).

DESAFIO C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C (t) = 16,1 .e^0,07t⋅ Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris