Atps Mate

Anhanguera

ATIVIDADES PRÁTICAS

SUPERVISIONADAS

Ciências Contábeis

3ª Série

Matemática Aplicada

Prof: Harley

Nomes: Cremeci Campos RA:

Dayane Oliveira RA:

Francine Gomes RA:

Laíne Screpante RA:

Marcos dos santos RA: 6814004838

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

MATEMÁTICA APLICADA

INTRODUÇÃO CONCLUÍDO

Este desafio foi proposto para que nós tomássemos a tarefa de elaborar um dossiê como funcionários do departamento de planejamento financeiro e orçamentário, da empresa P&H com os resultados das tarefas propostas pelo consultor Felipe.

Realizamos pesquisas, reuniões e debates para desenvolver as etapas a nós propostas por essa ATPS resolvendo as situações-problema com o uso da matemática

A cada passo registramos os conceitos por nós estudados seguindo as instruções a nos fornecidas. Com isso podemos concluir o quanto a aplicabilidade da matemática na nossa graduação é necessária, permitindo-nos atender as exigências impostas pelo nosso ramo e multiplicar o conhecimento de métodos por nos estudados.

Etapa 1

Passo 1 CONCLUÍDO

Derivada, é a taxa de variação de uma função, podemos dizer, que é o quanto y varia de x.

Como o próprio nome já diz, derivada, vem de derivação, ou seja, de onde provem a função, de onde deriva, origem.

A derivada é a inclinação do gráfico a uma dada função, para o valor de x.

A variação está constantemente presente no dia a dia das pessoas, em tudo o que envolve números, estamos comparando quanto determinado valor, resultado ou quantia varia do outro, desde o quanto nosso salário variou de um mês para o outro ou até mesmo a variação entre o número populacional de uma cidade quanto a outra, enfim, podemos dar inúmeros exemplos do quanto usamos a variação no nosso cotidiano.

Para facilitarmos o cálculo de derivada utilizamos algumas propriedades das derivadas, que chamaremos de regras de variação.

Quando a concavidade de uma função está voltada para cima a derivada da função é positiva e crescente, quando a concavidade da função está voltada para baixo, a derivada da função é negativa e decrescente.

Exemplos:

Passo 2 (Equipe) CONCLUÍDO

Encontrar através da aplicação da regra geral de derivação, a derivada da função f(x) = 7x,

apresentando todo o seu desenvolvimento. Este desenvolvimento deverá ser realizado de

forma objetiva no Word e utilizando a quantidade de laudas necessária.

A derivada da função f(x)=7x. Resolução.

f^' (x)= (f(x)-F(h))/(x-h)

f^' (x)=(7x-7h)/(x-h)

f^' (x)=(7(x-h))/(x-h)

f^' (x)=7

De outra maneira, poiando-se nas Técnicas de derivação podemos decifrar qual o tipo de função é f(x) = 7x.

y = c Quando a função é uma constante, a derivada de uma constante é sempre y’= 0

y = x Quando a função for x, a derivada será y’= 1

y =X^P Quando a função for um numero com expoente , a derivada será y’ = P x^(P-1)

y = b + b Quando a função for uma soma/subtração, a derivada será encontrada pela derivação de cada item conservando-se o sinal y’ = b’ + b’.

f(x) =7x Vemos que a função dada é uma função x então usamos a formula f(x)=x na qual a derivada será um numero natural y =1

Resolução:

f(x) =7x Como vimos a derivada da função será 1

f’(x) =7(1)

f’(x) = 7.1

f’(x) = 7

R: A derivada da função f(x) =7x é 7

Passo 3 (Equipe) CONCLUIDO

Mostrar através de dois exemplos a aplicação da taxa de variação. Estes exemplos deverão ser feitos no Power Point utilizando os recursos da ferramenta para detalhar as informações que serão construídas, quantidade de Slides livre para a construção e detalhamento.

Considere a função , definida por F (x)=x^2-3x+4

Calcule a taxa de variação média de no intervalo [0,1].

Resolução:

Calcular f(0)

Calcular f(1)

A taxa de variação média de no intervalo [0,1] é -2.

Etapa 2

Passo 1

Ler o conteúdo “Técnicas de Derivação” disponível no livro texto da disciplina Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade e cada aluno relatar o entendimento. Este relato deverá constar, ao ser confeccionado, todos os integrantes do grupo no momento que for gerar o fechamento da atividade, assim todos estarão contribuindo para o entendimento de definição do conceito.

O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o “Problema da Tangente".

Passo 2 (Equipe) CONCLUÍDO

Calcular a derivada de f(x) = 3x² + 5x - 12. Apresentar no Power Point utilizando os recursos da ferramenta para detalhar as informações que serão construídas, quantidade de Slides livre para a construção e detalhamento.

Resolução

Como vemos um sequencia entre soma e subtração usamos a regra abaixo

f(x) = b + b Quando a função for uma soma/subtração, a derivada será encontrada pela derivação de cada item conservando-se o sinal f(x)’ = b’ + b’.

Resolução:

Para inicio derivamos todos os itens. Lembrando que a derivada de uma constante é 0

f(x) = 3x² + 5x – 12

f(x) = 3.2x^(2-1) +5.1 - 0

f(x) = 3.2x^1+ 5.1 - 0

Passo 3 (Equipe) CONCLUIDO

Discutir em grupo e escolher a alternativa correta entre as afirmações abaixo:

a) A taxa de variação média é a inclinação da reta tangente.

b) A taxa de variação média é a inclinação da reta concorrente.

c) A taxa de variação média é a inclinação da reta externa.

d) A taxa de variação média é a inclinação da reta secante.

e) N.D.A

Após a escolha da alternativa, justificar a escolha e criar um exemplo que satisfaça a definição do grupo. Para este momento utilize o Word e utilize no máximo 04 laudas.

Taxa média de Variação

Suponhamos que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de para , então a variaçãode x

∆ X=X1-X0

∆y=f(x1)-f (x0)

O quociente de diferenças ∆y/∆x = (f(x1)-f (x0))/(x1-x0)

É denominado de Taxa Média de Variação de y em relação a x

no intervalo { x0 -x1} pode ser interpretado como a inclinação da reta secante

M sec (reta que intersecta 2 pontos de uma curva).

Passo 1(Individual) A CONCLUIR

Pesquisar em sites confiáveis da internet a aplicação de derivadas nas áreas econômicas

e administrativas. Após realizar a pesquisa exemplificar uma situação vivenciada por algum integrante do grupo. Deverá ser gerado um relatório com no máximo 04 laudas.

Passo 2 CONCLUIDO

Solucionar a seguinte questão: A empresa “MAFRA SA” tem função de demanda dada por q=100 – 4p e função custo C(q) = q³ - 30,25q² + 100q + 20. Determine o nível do produto no quais os lucros são maximizados. Apresentar no Power Point utilizando os recursos da ferramenta para detalhar as informações que serão construídas, quantidade de Slides livre para a construção e detalhamento.

R: A Derivada da função Custo C(x) = q³ - 30,25q² + 100q + 20, vai ser: C'(x) = 3q² - 60,50q + 100, o lucro máximo está relacionado ao vértice da parábola (xv; yv), onde xv é a quantidade máxima (-b/2a) e yv o lucro máximo (-Δ/4a). Para a = 3, b = -60,50 e c = 100==>> xv = -b/2a = 60,50/6 = 10,08 // Δ = (-60,50)² - 4(3)(100) = 3660,25 - 1200 = 2460,25 // yv = -2460,25/12 = - 205,02.

O lucro é máximo quando sua concavidade é voltada para baixo (a<0), neste caso a>0, logo não haverá lucro e sim prejuízo.

Passo 3 A CONCLUIR

Encontrar a solução para situação: “Sabe-se que a equação de demanda de um produto é p = -q³ + 12q². Determine a quantidade q e o correspondente preço p que maximiza o faturamento.

Passo 4 CONCLUIDO

Demonstrar a solução para seguinte situação: Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é R$ 100,00, nenhuma é vendida; quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1° grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de R$ 30,00.

Apresentar no Power Point utilizando os recursos da ferramenta para detalhar as informações que serão construídas, quantidade de Slides livre para a construção e detalhamento.

f(x)=Número de mercadorias vendidas.

x = preço dos produtos.

Como é uma reta. Será do tipo : f(x)=ax+b

0 = 100a+b

b=-100a

50=a.0+b

b=50

50=-100a

a=-1/2

f(x)=-1/2x+50

30=50 -1/2x

-1/2x=-20

x=40

Etapa 4

Passo 1 CONCLUIDO

Determinar os intervalos em que a função f(x) = x³– 27x + 60 é crescente e os intervalos em que é decrescente, em seguida façam um esboço de seu gráfico e determine as coordenadas dos pontos extremos locais.

Para determinação de crescente decrescente fazemos a derivada primeira de y e a igualamos a zero

y' = 3x² - 27

3x² - 27 = 0

3(x² - 9) = 0

x² - 9 = 0

x² = 9

x = -3 e x = 3

Então sabemos as raízes

Como temos uma equação do segundo grau com boca pra cima (isto é, concavidade pra cima, dada pelo coeficiente de maior grau), temos o seguinte gráfico

\ /

\ /

______[-3]________[3]_______

\ /

\ _ /

A função é positiva para todo x < -3 e x > 3

A função é negativa para todo x entre -3 e 3

Em relação aos pontos mínimos:

Como há somente concavidade para cima, temos somente ponto mínimo global, que no caso é x =0, pois é uma função simétrica (de paridade par)

Passo 2 CONCLUIDO

Analisar a seguinte questão: Para um determinado produto, a receita R, em reais, ao se

comercializar a quantidade x, em unidades, é dada pela função: R = - 2 x² + 1000 x. Agora resolva as seguintes questões:

a) Calcule a derivada R´(100). Qual a unidade dessa derivada? O que ela representa

numericamente? O que ela representa graficamente?

b) Quantas unidades devem ser comercializadas para que a receita seja máxima?

c) Qual a receita máxima correspondente ao item anterior?

Derivando R = -2x² + 1000x.

- vamos chamar a derivada de R', como estamos trabalhando com uma potencia, usamos a seguinte regra:

f(x) = a^x => f '(x) = x.a^(x-1), logo:

R = -2x² + 1000x => R' = -2.2x²⁻¹ + 1.1000x¹⁻¹ => R' = -4x + 1000

a) R' (100) = -4(100) + 1000 => R'(100) = 600.

A receita esta ligada ao preço e a quantidade vendida (x), observe que quanto mais se vende (x) menos receita você terá.

b) Observe que a função receita é de 2º grau (R = -2x² + 1000x), onde a >0, logo sua concavidade está voltada para baixo. No vértice (-b/2a; -Δ/4a) está a receita máxima e a quantidade máxima a ser vendida. Logo:

- quantidade máxima p/ a receita ser máxima => x = -b/2a => x = -1000/2(-2) =>

=> x = 1000/4 => x = 250.

- a receita máxima corresponde ao ponto y do vértice => y = -Δ/4a

Δ = b² - 4ac => Δ = (1000)² - 4(-2)(0) => Δ = 1.000.000

y = -1.000.000/4(-2) => y = 1.000.000/8 => y = 125.000

Para que a receita seja máxima (125.000) deverão ser comercializadas 250 unidades do produto.

Passo 3 A CONCLUIR

Determinar a taxa de variação da temperatura T, em relação ao tempo, no instante t = 10

minutos para seguinte hipótese: A temperatura de um forno varia com o tempo t de acordo com a expressão: T = 0,02t³ + 0,2t² + 110. A temperatura está expressa em graus Celsius e o tempo em minutos.

Passo 4 A CONCLUIR

Demonstrar a solução para o problema e em seguida escolher a alternativa correta. “O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m-1), onde m [ R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é”:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2