Atps Matemática

RESUMO

As atividades práticas supervisionadas em Matemática (ATPS), inseridas no presente trabalho, visam a estimular a organização e o planejamento, além de favorecer a aprendizagem e o espírito crítico. De modo a direcionar para o raciocínio crítico, as atividades se apresentam de maneira organizada, evoluindo de modo a tornarem-se mais complexas a cada procedimento. Com isso, há uma evolução no pensamento do acadêmico de modo a inseri-lo integralmente no escopo de algumas competências exigidas pelas Diretrizes Curriculares Nacionais dos Cursos de Graduação.

Palavras-chave: Matemática

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO...........................................................................................................04

2. FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU...........................................................................05

3. FUNÇÕES DE SEGUNDO GRAU............................................................................07

4. FUNÇÕES EXPONENCIAIS....................................................................................09

5. DERIVADAS...............................................................................................................12

6. RELATÓRIO FINAL.................................................................................................15

7. CONCLUSÃO.............................................................................................................16

8. REFERÊNCIAS BILIOGRÁFICAS.........................................................................17

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho encontra-se dividido em cinco etapas, a saber: funções do primeiro grau, funções do segundo grau, funções exponenciais, derivadas e relatório final. Após uma breve explanação no intróito dos três primeiros capítulos, um exercício prático de cada assunto é desenvolvido de modo a mostrar, passo a passo, de maneira pratica a resolução de problemas diários que o acadêmico encontra.

No Capítulo 5, discorremos de maneira mais precisa sobre os conceitos gerais de Derivadas, mostrando de modo genérico a relevância da matéria e sua aplicabilidade no dia a dia. Assim, nota-se uma evolução de conceitos ao longo do trabalho, expondo uma sequência lógica que em muito auxilia no desenvolvimento intelectual e no aprimoramento das ferramentas pedagógicas que facilitarão a compreensão dos meandros da Matemática.

A estrutura, simples, tem por objetivo seguir as diretrizes propostas e ilustrar principalmente a resolução dos exercícios como forma de demonstrar o nível de complexidade das demandas que se apresentam diariamente na vida profissional. Dessa forma, as etapas envolvem partes indissociáveis de um todo, onde o produto final compreende um complexo sistema de pensamento lógico e racional.

Ao findar os cinco primeiros capítulos, apresentamos um relatório final com os conceitos universais abordados em todas as etapas, interligando-as de modo a demonstrar que se trata de um só corpo de conhecimento, dividido pedagogicamente apenas com o propósito de facilitar o ensino-aprendizado dos acadêmicos. A integridade da ciência, como é de conhecimento, é absoluta, e toda separação em disciplinas ou frentes está inserida em um contexto escolar planejado.

Assim, apresentamos um resumo das atividades práticas supervisionadas em Matemática de modo a complementar a compreensão das disciplinas envolvidas na solução de problemas práticos relativos à vida profissional. Para tanto, seguimos rigidamente o protocolo apresentado pela tutoria e solucionamos as questões práticas propostas de modo a elucidar o conhecimento adquirido com a leitura do livro-texto e de outras referências bibliográficas que se encontram listadas ao fim do presente trabalho.

2. FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU

O estudo das funções é primordial, já que elas podem ser aplicadas em diferentes circunstâncias: nas engenharias, no cálculo estatístico de animais em extinção e em diversas áreas do conhecimento humano..

A definição de função é inerente à matemática, permanecendo o mesmo para qualquer natureza de função, seja ela do 1° ou do 2° grau, ou uma função exponencial. Assim sendo, a função é empregada para relacionar valores numéricos de uma determinada expressão algébrica de acordo com cada valor que a variável x assume.

Sendo assim, a função do 1° grau relacionará os valores numéricos obtidos de expressões algébricas (ax + b), compondo, assim, a função f(x) = ax + b.

Observemos que para definir a função do 1° grau, satisfaz haver uma expressão algébrica do 1° grau. O objetivo da função é relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a função f(x) = x – 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 – 2 = –1

x = 4, temos que f(4) = 4 – 2 = 2

Observemos que os valores numéricos se alteram conforme o valor de x é alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, constituídos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construção de gráficos das funções.

Deste modo, para que o estudo das funções do 1° grau seja realizado com sucesso, faz-se necessário compreender bem a construção de um gráfico e a manipulação algébrica das incógnitas e dos coeficientes.

Consideramos o exercício abaixo proposto no protocolo:

I. Uma empresa do ramo agrícola tem o custo para a produção de q unidades de um determinado insumo descrito por C(q) = 3q + 60. Com base nisso:

a) Determinar o custo quando são produzidas 0,5, 10, 15 e 20 unidades deste insumo

P/ 0,5, teremos

C(5) = 3.5 + 60 = 75 R. O insumo custará 75 u.v. (unidade de valor)

P/ 10 teremos

C(10) = 3.10+60 = 90 R. O insumo custará 90 u.v. (unidade de valor)

P/ 15, teremos

C(15) = 3.15 + 60 = 105 R. O insumo custará 105 u.v. (unidade de valor)

P/ 20, teremos

C(20) = 3.20 + 60 = 120 R. O insumo custará 120 u.v. (unidade de valor)

b) Esboçar o gráfico da função.

c) Qual é o significado do valor encontrado ara C, quando q=0?

Para q=0, temos C=60, ou seja, caso a empresa não produza nenhum insumo, ainda assim terá um custo operacional de 60 u.v., certamente relacionado à manutenção, impostos e outras despesas.

d) A função é crescente ou decrescente?

A função é estritamente crescente, pois C(x1) ≤ f(x2)

e) A função é limitada superiormente?

Não, pois não existe um valor máximo para C(q).

3. FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:

As funções do 2º grau possuem inúmeras aplicações no cotidiano, sobretudo em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; nas Ciências Biológicas, examinando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil nas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.

? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Para exemplificar apresentamos a resolução do exercício proposto no protocolo.

I. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer de dos meses é dado por E = t² - 8t + 210, onde o consumo E é dado em KWh, e ao tempo associa-se t=0 para janeiro, t=1 para fevereiro, e assim sucessivamente.

Meses Consumo (Kwh)

0 210

1 203

2 198

3 195

4 194

5 195

6 198

7 203

8 210

9 219

10 230

11 243

Σ 2498

a) Determinar o mês em que o consumo foi de 195KWh.

195 = t² - 8t + 210 ------- t² - 8t + 15 = 0 ------ t=5

R. O consumo foi de 165 KWh foi em junho (t=5).

b) Determinar o consumo médio para o primeiro ano.

O consumo médio anual será de 208,1667 KWh.

c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboçar o gráfico de E.

d) Qual foi o mês de maior consumo? De quanto foi esse consumo?

O mês de maior consumo foi o mês de dezembro (11). O consumo foi de 243 KWh.

E = t² - 8t + 210 ------- 11² - 8.11 + 210 = 243 KWh.

e) Qual foi o mês de menor consumo? De quantos foi esse consumo?

O mês de menor consumo foi o mês de maio (4). O Consumo foi de 194 KWh.

E = t² - 8t + 210 -------- 4² - 8.4 +210 = 194 KWh.

4. FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função designada como exponencial possui essa relação de dependência e seu principal atributo é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2(x)

y = 3(x + 4)

y = 0,5 (x)

y = 4(x)

A lei de concepção de uma função exponencial mostra que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos etc. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessária, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.

Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v0 * 2 –0,2*10

12 000 = v0 * 2 –2

12 000 = v0 * ¼

12 000 : 1/ 4 = v0

v0 = 12 000 * 4

v0 = 48 000

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

Exemplo 2

(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial

P(x) = P0 * (1 + i)t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)20

P(x) = 500 * 1,0320

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.

Para prosseguir nos exemplos, resolveremos agora o exercício proposto no protocolo sobre funções exponenciais.

I. Sabe-se que o comportamento da quantidade de um determinado insumo, quando ministrado a uma muda, no instante t, é representado pela função Q(t) = 250.(06)t.

a) A quantidade inicial administrada.

Para a quantidade inicial administrada, consideramos t=0, ou seja

Q(0) = 250.1 = 250

R. A quantidade inicial administrada será de 250 mg.

b) A taxa de decaimento diária.

Q(t) = 250.06(0) = 250

Q(t) = 250.06(1) = 150

Q(t) = 250.06(2) = 90

Q(t) = 250.06(3) = 54

Insumo (mg) Tempo (dias)

250 0

150 1

90 2

54 3

A taxa de decaimento diária é de 40%. Para calcular, observar que apenas 60% da quantidade de insumo de um dia é transferido para o dia posterior, conforme nos mostra a equação Q(t) = 250.(06)t.

c) A quantidade de insumo presente 3 dias após a aplicação.

Basta somar os insumo presentes em todos os dias inclusive aquele que já continha no tempo inicial (t=0).

Conforme já calculado na tabela acima, teremos 544 mg de insumo.

d) O tempo necessário para que seja completamente eliminado

Não haverá eliminação completa do insumo, uma vez que por maior que seja o tempo, nunca a equação Q(t) = 250.(06)t se igualará a zero.

5. DERIVADAS

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento.

Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.

Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.

Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.

Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).

A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:

Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada vez mais próximas da declividade da reta tangente.

Esperamos que a razão incremental, se aproxime de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.

O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.

Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).

Quando h 0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:

O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=xo, então a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)), será dada por:

y = f(xo) + k (x-xo)

Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:

A reta tangente à curva y=x² em P=(1,1) é y=2x-1.

6. RELATÓRIO FINAL

Para a primeira etapa, galgamos nas definições de funções do primeiro grau, sua aplicabilidade nos problemas diários e sua utilidade que está além de dados meramente matemáticos, mas também nas definições de conceitos das ciências de um modo geral. Resolvemos a equação proposta pelo protocolo e verificamos que as funções de primeiro grau se apresentam de modo linear. O gráfico, tendencioso, tem sua definição em conformidade com o coeficiente linear.

Nas definições de funções do segundo grau, observamos o seguinte formato:

ax²+bx+c = 0, onde a ≠ 0.

Observamos sua aplicabilidade em situações relacionadas a física, principalmente nos Movimentos Uniformemente Variados, além de grande utilidade nas Ciências Biológicas e Engenharias. No exercício proposto no protocolo verificamos o consumo de energia elétrica em uma residência, podendo aferir suas variações, mês de maior e menor consumo, além de um comportamento médio para o objeto em estudo. Na configuração do gráfico, verificamos que nas extremidades (inicio e término do ano) há um gasto energético acima da média, informação que pode ser fundamental para um planejamento econômico mais adequado.

Nas funções exponenciais, verificamos as questões de proporcionalidade. Nela, verificamos o crescimento ou decrescimento de uma determina população, por exemplo. No exercício proposto no protocolo, verificamos a quantidade de insumo agrícola presente e um vegetal em função do tempo. Dessa forma, é possível realizar estudos precisos sobre populações, sendo de grande relevância, sobretudo para a área de Ciências Médicas, a aferição de proporções e tendências de um determinado objeto de estudo.

Nas definições que contemplam Derivadas, observamos que, no Cálculo, a derivada concebe a taxa de variação instantânea de uma função. A função velocidade, por exemplo, representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Da mesma maneira, a função aceleração é a derivada da função velocidade. Dessa forma, compreendemos que uma função f é derivável se, nas proximidades de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) – f(a) se comportar em tese como uma função linear (gráfico aproximadamente uma reta). Assim o declive de uma reta é a derivada da função f no ponto a, sendo representada:

ou por .

7. CONCLUSÃO

As atividades práticas supervisionadas de Matemática objetivaram dar uma noção prática sobre as utilidades das funções na rotina diária do profissional. Assim, contribuiu para mostrar, do modo como foi esquematizado, que há uma evolução nos conceitos matemáticos e conseguintemente uma evolução na complexidade do raciocínio a ser utilizado. No entanto, as atividades práticas mostram também unicidade do conhecimento e que sua divisão pedagógica apenas é concebida a fim de facilitar o processo ensino-apreendizagem, ou seja, ocorre em virtude de um planejamento estipulado para fins meramente didáticos.

A sequência lógica das etapas permite verificar a co-relação entre os temas e sua aplicabilidade dentro do universo profissional em todas as áreas do conhecimento. A estruturação, feita através de orientações (passos) possibilita, também, um exercício de planejamento adequado para a resolução das demandas diárias, contemplado, indiretamente, modernos conceitos de gestão administrativa/operacional que são requisitos básicos para a vida profissional.

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARONE Jr., Mário. Álgebra Linear, 3.º Edição. São Paulo: IME-USP, 2002.

GONÇALVES, Adilson. Introdução à álgebra. 5.º Edição. Rio de Janeiro: IMPA, 2006.

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo A. Matemática Aplicada à Administração, Economia e Contabilidade. 2.º Edição. São Paulo. Cengage Learning, 2012. PLT 622.

STEWART, James. Cálculo, volume I, 4.º Edição. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002.