Atps Parabola

? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Sinais da função de 2º Grau

Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois os permite uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.

Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.

∆ = 0, uma raiz real.

∆ > 0, duas raízes reais e distintas

∆ < 0, nenhuma raiz real.

Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima

Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

Exemplo 1

y = x² – 3x + 2

x² – 3x + 2 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2

∆ = 9 – 8

∆ = 1

A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.

Análise do gráfico

x < 1 ou x > 2, y > 0

Valores entre 1 e 2, y < 0

x = 1 e x = 2, y = 0

Exemplo 2

y = x² + 8x + 16

x² + 8x + 16 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = 8² – 4 * 1 * 16

∆ = 64 – 64

∆ = 0

A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.

Análise do gráfico

x = –4, y = 0

x ≠ –4, y > 0

Exemplo 3

y = 3x² – 2x + 1

3x² – 2x + 1 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1

∆ = 4 – 12

∆ = – 8

A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.

Análise do gráfico

A função será positiva para qualquer valor real de x.

Exemplo 4

y = – 2x² – 5x + 3

– 2x² – 5x + 3 = 0

Aplicando Bastará

∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3

∆ = 25 + 24

∆ = 49

A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.

Análise do gráfico

x < –3 ou x > 1/2, y < 0

Valores entre – 3 e 1/2, y > 0

x = –3 e x = 1/2, y = 0

Exemplo 5

y = –x² + 12x – 36

–x² + 12x – 36 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)

∆ = 144 – 144

∆ = 0

A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.

Análise do gráfico x = 6, y = 0 x ≠ 6, y < 0

Gráfico da função de 2º Grau

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x)