Atps analise matematica

UNIAN

UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SANTO ANDRÉ - SP

CURSO DE GRADUAÇÃO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS

Análise Matemática – Prof.ª EMI

Nome: Abílio Martinho Silva

RA: 4200061601

Série: 6º Semestre

Nome: Étila Viñas da Silva

RA: 5631972081

Série: 5º Semestre

Nome: Mônica Sayuri Kunigami

RA: 4200061611

Série: 6º Semestre

Nome: Renan Moreno Marques

RA: 3725707159

Série: 6º Semestre

Nome: Wesley Jesus Santos

RA: 4200061614

Série: 6º Semestre

SANTO ANDRÉ

2014

ATPS – Análise Matemática

ETAPA 01 - Números Reais

Resolver a seguinte situação-problema:

1. Sendo a, b e c números reais, assinalar V para verdadeiro e F para falso. Se a afirmação for verdadeira, dar um exemplo:

a) Se a > b e b > c, então a > c _______________________( V )

EX:

a = 5

b = 2

c = 4

Se 5 > 2 e 2 > 4, então 5 > 4

b) Se a > b e c < 0, então ac > bc ______________________ ( F ) ac < bc

c) Se a > b e c > 0, então ac < bc _______________________ ( F ) ac > bc

ETAPA 2 - Sequências

Teorema de Bolzano

Teorema de Weierstrass

Todo o conjunto infinito e limitado A _ R contem pelo menos um ponto de acumulação.

Demonstração:

Dado um intervalo fechado e limitado I = [a, b] designemos por M0(I) = [a, a+b2 ] e M1(I) = [ a+b2 , b] as duas metades iguais em que o intervalo I se subdivide.

Observemos que se A \ I for infinito então pelo menos uma das duas intersecções A \M0(I) e A \M1(I) será infinita. Se fossem ambas finitas teríamos A \ I =(A \M0(I)) [ (A \M1(I)) finito.

Como A é um conjunto infinito e limitado podemos escolher um intervalo fechado e limitado I0 contendo A. Logo A \ I0 = A será infinito. Pela observação acima, pelo menos uma das metades em que se subdivide o intervalo I0 terá uma intersecção infinita com A. Designemos por I1 essa metade. Prosseguindo encontramos I2 metade de I1 tal que A \ I2 seja infinito, e assim por diante. Mais precisamente podemos definir recursivamente, In+1 = _M0(In) se A \M0(In) for infinito M1(In) caso contrário 1.

Facilmente se prova por indução que para todo o n 2 N, A \ In é infinito e que In tem comprimento |In| = 12n |I0|. Pelo Princípio de Encaixe existe um único ponto

c que pertence a todos os intervalos In. Temos que c é ponto de acumulação de A porque qualquer vizinhança ]c − _, c + _[ de c contem todos os intervalos In com ordens suficientemente grandes.

Dada uma sucessão estritamente crescente de números inteiros {kn}, k1 < k2 < k3 < · · · < kn < kn+1 < · · ·e uma sucessão de números reais {xn}, a sucessão {xkn}xk1 , xk2 , xk3 , · · · xkn, · · ·diz-se uma subsucessão de {xn}.{x2 n} x2 x4 x6 x8 · · · x2 n · · ·{x2 n−1} x1 x3 x5 x7 · · · x2 n−1 · · ·{x(n+1)!} x2 x6 x24 x120 · · · x(n+1)! · · ·{x2n} x2 x4 x8 x16 · · · x2n · · ·são exemplos de subsucessões de {xn}.

Chama-se sublimite de {xn} a qualquer limite de uma subsucessão convergente

de {xn}. Proposição x é sublimite de {xn}m{n 2 N : xn = x } é infinito ou x é ponto de acumulação de {xn : n 2 N}2.

Demonstração:

Se { n 2 N : xn = x } é infinito, sendo k1 < k2 < k3 < · · · < kn < kn+1 < · · ·uma ordenação dos elementos deste conjunto, a subsucessão {xkn} é constante igual a x. Logo a subsucessão converge para x, o que mostra que x é um sublimite de {xn}.

Se x for ponto de acumulação de { xn : n 2 N}, seja k1 = min{ i 2 N : xi 2]x − 1, x + 1[ } .

Como para cada n 2 N a vizinhança ]x – 1n+1, 1 + 1n+1[ contem uma infinidade de termos xi podemos definir recursivamente kn+1 = min_i > kn : xi 2_x −1n + 1, 1 +1n + 1_ _Logo, por definição kn é estritamente crescente e xkn 2_x −1n, 1 +1n_() |x − xkn| 1n, o que mostra que x = limn!1 xkn é sublimite de {xn}.

Se x é um sublimite de {xn} existe uma subsucessão {xkn} convergente para x. Se o conjunto dos termos desta subsucessão { xkn : n 2 N} for infinito então

x é ponto de acumulação deste conjunto, e, portanto também é ponto de acumulação do conjunto maior { xn : n 2 N}. Caso contrário, se { xkn : n 2 N} for finito, teremos xkn = x para todo o n suficientemente grande. Logo {n 2 N : xn = x } é infinito porque contem todas as ordens kn com n suficientemente grande.

Teorema de Bolzano-Weierstrass II

Toda a sucessão limitada de números reais admite pelo menos um sublimite.

Demonstração:

Seja {xn} uma sucessão limitada. Então A = { xn : n 2 N} é um conjunto limitado. Se A for finito então algum dos termos xp da sucessão repete-se infinitas vezes. Neste caso {n 2 N : xn = xp } é infinito, e pela proposição anterior x = xp é sublimite de {xn}. Caso contrário A é infinito. Neste segundo caso pelo Teorema 3 de Bolzano-Weierstrass-I A tem um ponto de acumulação x, que pela proposição anterior é sublimite de {xn}.

Exemplos:

1. {xn} = {1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · }

• Conjunto dos termos A = { xn : n 2 N} = {1, 2, 3 }.

• Pontos de acumulação de A, A0 = ?.

• Termos que se repetem infinitas vezes: Todos.

• Sublimites: {1, 2, 3 }.

2. {xn} = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, · · · }

• Conjunto dos termos A = { xn : n 2 N} = N.

• Pontos de acumulação de A, A0 = ?.

• Termos que se repetem infinitas vezes: Todos.

• Sublimites: N.

3. {xn} =_02,12,22,03,13,23,33,04,14,24,34,44,05,15,25,35,45,55, · · ·_

• Conjunto dos termos A = { xn : n 2 N} = Q \ [0, 1].