Cardeal Transfinitos

Cardinais Transfinitos

A “Possança” ou o número de elementos de um conjunto infinito

Ernesto von Rückert

(Trabalho apresentado em 1968, como parte das exigências para aprovação na

disciplina “Fundamentos da Matemática” do primeiro ano do Curso de Matemá-

tica da Universidade Presidente Antônio Carlos em Barbacena, Minas)

Não é minha pretensão escrever um tratado sobre a possança dos

conjuntos que esgote completamente o assunto. Quero simplesmente fazer al-

guns comentários da matéria colhida aqui e acolá, um pouquinho em cada li-

vro, que estejam ao alcance do leigo, sem tampouco faltar ao rigor matemático

que o assunto exige.

À medida que se desenvolve o raciocínio da criança, ela vai obser-

vando os seres e fenômenos da natureza e tirando as suas conclusões. Uma das

coisas mais importantes que ela passa a compreender é a manifestação da uni-

dade, da variedade e da pluralidade. Ao contemplar uma ninhada de gatinhos,

por exemplo, a criança começa a perceber que, além de ser cada gatinho um

ente individual, há um certo “quê” que é o comum a todos, isto é, o fato de se-

rem gatos de uma mesma ninhada. Em geral, sempre que ela percebe um grupo

de indivíduos ou coisas, que possuem alguma propriedade comum, ela os agru-

pa em um conjunto e lhes associa a sua propriedade comum. Por exemplo, con-

junto de pessoas da sua família, conjunto de móveis do seu quarto e assim por

diante.

Evento semelhante ocorreu com a espécie humana, fazendo a ana-

logia entre sua evolução e a da criança. A idéia de conjunto e de elemento foi

sendo gravada cada vez mais caracterizadamente na inteligência dos povos pré-

históricos.

Mais tarde, com a complexidade crescente das atividades do ho-

mem, outra noção matemática foi surgindo em sua mente. O bicho-homem que

era nômade fixou-se e, de caçador, passou às atividades gregárias da agricultu-

ra e da pecuária. Nesta última, necessário se fazia manter um rígido controle

sobre o gado, para estar a par das atividades dos animais e, mesmo, dos ho-

mens predadores. Assim sendo, ao soltar as reses pela manhã, ele associava a

cada cabeça uma pedrinha e a colocava em uma sacola. À noite, ao recolhê-las,

fazia nova associação e assim podia verificar se estavam intactas. Observemos

que a cada animal correspondia uma pedrinha e cada pedrinha associava-se a

um único animal. Esta correspondência é chamada correspondência bi-unívoca

ou correspondência um-a-um nos dois sentidos.

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Ernesto von Rückert

A observação e a experiência cotidiana nos dizem que é muito fácil

estabelecer esta correspondência: a cada pessoa corresponde o seu nome — ra-

ramente haverá numa coletividade duas pessoas com o mesmo nome, cada bo-

tão corresponde à sua casa, cada residência ao seu endereço etc. Estamos tão

acostumados a isto que não percebemos que quando chamamos João quem nos

atende não é a palavra João e sim a pessoa correspondente.

Se os elementos de dois conjuntos podem ser postos em correspon-

dência bi-unívoca, os conjuntos denominam-se equivalentes. Desta maneira são

equivalentes as reses e as pedrinhas do embornal do nosso homem pré-

histórico. Agora observemos: Posso tomar um conjunto de livros e correspon-

dê-lo bi-univocamente a um conjunto de bananas, associar a cada banana uma

pessoa diferente, a cada pessoa uma estrela e assim sucessivamente, associar

bi-univocamente os livros com qualquer conjunto definido por qualquer espé-

cie de elementos. No entanto, apesar da diversidade dos conjuntos, uma coisa

mantém-se constante e é propriedade comum a todos esses conjuntos. Tal coisa

é o número de elementos do conjunto. Para definirmos mais precisamente o

que seja este número, vamos partir de umas considerações básicas e elementa-

res.

Certos conjuntos podem ser dispostos de tal maneira que seus ele-

mentos possuam uma certa ordem, isto é, de tal maneira que eu possa dizer se

um elemento é anterior ou posterior a outro. Por exemplo: o conjunto de anda-

res de um prédio. Quando houver dois elementos “a” e “b” desse tal conjunto,

“a” anterior a “b”, para os quais não exista elemento posterior a “a” nem ante-

rior a “b”, este conjunto é chamado discreto e o elemento “b” é o seguinte de

“a”, sendo “a’ o antecedente de “b”. Pode haver um conjunto discreto e orde-

nado em que exista