Case De Calculo Fundamental - Undb

Construção de pilares em formato cilíndrico com a menor área total possível.

Autor: José Antônio de Gois Júnior

Orientador: Napoleão Sobrinho

Sinopse do caso

Descrição do enredo:

A construção civil tem vivido um crescimento muito grande nos últimos anos devido a investimentos públicos, privados e, principalmente, aos programas do governo federal, como o PAC e Minha Casa Minha Vida. Com o aquecimento do mercado aumenta, consequentemente, a procura por profissionais da área. Em São Luís – MA, a demanda por estes está consideravelmente alta, devido às várias construções verticais e horizontais presentes na cidade.

Nesse contexto, uma construtora estava em busca de estagiários e decide contratar um acadêmico do primeiro período do curso de engenharia civil da UNDB (EU), para fazer cálculos de pilares pré-moldados de forma cilíndrica e de volume V, sendo que estes serão usados em algumas casas de modelo diferente das outras, as quais já estavam sendo construídas. No entanto, o engenheiro responsável pela obra fez as seguintes ressalvas a mim:

Que eu determine as dimensões da fôrma dos pilares pré-moldados (incluindo as duas tampas) de modo que fiquem em função de V e de tal forma que tenhamos o gasto mínimo com o material em sua produção, ou seja, a superfície da forma deve ser mínima.

Que eu faça o esboço do gráfico da função que representa a área total do cilindro, em função do valor do raio do cilindro.

Que eu encontre as dimensões mínimas desse pilar, de modo que o seu volume seja numericamente igual ao aos dois últimos dígitos da minha matrícula na UNDB.

Identificação e analise do caso

2.1 Determinar as dimensões da fôrma em função do volume V:

2.1.1 Usando a fórmula do volume do cilindro, colocarei a altura “H” em função do volume “V”.

V=πR^2 H→H=V/(πR^2 )

2.1.2 Agora descobrirei o valor da área total “A” em função do volume “V” utilizando a fórmula da área total do cilindro, substituirei o “H” por seu valor encontrado na equação a cima.

A_T=2πRH+2πR^2→A_T=2πR V/(πR^2 )+2πR^2→A_T=2V/R+2πR^2

2.1.3 Agora aplicando o seguinte teorema: “se o produto de n números positivos é constante, sua soma será mínima quando eles forem iguais” encontraremos que:

A_T=2∙V/R+2πR^2→A_T=V/R+V/R+2πR^2, percebemos que V/R∙V/R∙2πR^2=2πV^2, sendo esse produto uma constante. Dessa forma o valor mínimo de V será quando V/R=2πR^2→V=2πR^3→R=∛(V/2π). Substituindo o valor de V/R por 2πR^2, e o posteriormente o valor de R por ∛(V/2π), encontraremos a área total em função do volume, que será: A_T=V/R+V/R+2πR^2→A_T=2πR^2+2πR^2+2πR^2→A_T=6πR^2→A_T=6π〖(∛(V/2π))〗^2→A_T=6π∛(V^2/(4π^2 )).

2.1.4 Já conhecemos que R=∛(V/2π) e A_T=6π∛(V^2/(4π^2 )) , agora descobriremos os valores das demais dimensões da fôrma.

Altura H:

H=V/(πR^2 )→H=V/(V/2R)→H=2R→H=2∙∛(V/2π)

Área de cada tampa (base):

A_B=πR^2→A_B=π∛(V^2/(4π^2 ))

Área lateral:

A_L=2πRH→A_L=2πR V/(πR^2 )→A_L=2 V/R→A_L=2∙2πR^2→A_L=4π∛(V^2/(4π^2 ))

2.2 Esboço do gráfico da função que representa a área total