Circo De Soler

Surgimento dos Limites:

O Calculo é utilizado pela manipulação e quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pela infinitesimais ou” infinitamente pequenos”. Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui “zero” de distância de zero. Nenhum numero diferente de zero é um infinitesimal. Deste ponto de vista o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular o infinitesimais. Mas Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitésimas. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada , a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais.

No século XIX as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos de valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como as infinitesimais, mas utilizando números ordinários, Deste ponto de vista, cálculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo.

Limite

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função á medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, á medida que da sequência vai crescendo, i, e tende ao infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outras áreas matemáticas para definir derivadas e as funções.

Limites

Seja Y= f(x), uma função definida no intervalo |e “a” um ponto de|

y. y = f (x)

b

a x

Vemos que quando x tende a a , f(x) tende a b . Dizemos nesse casso que b é o limite de f (x) para x tendendo a a.

Indicamos LIM f (x) = b

x a

Exemplo: seja f (x) =2x e calculemos o limite de f (x) para x tendendo a 1

X , 1,1 1,01 1,001 1,0001 ....... 1

f (x), 2,2 2,02 2,002 2,0002 .......... 2

1

x , 0.9 0,99 0,999 0,9999............ 1

f (x), 1,8 1,98 1,998 1,9998........ 2

Lim f(x) = LIM(2x)=2

X  1 X  1

Observação: No cálculo do limite de uma função o que interessa é o conjunto de valores que f (x) assume numa determinada reduzida de a e a valor particular de f (x) no ponto x=a.

O fato de uma função não estar definida no ponto x=a, não significa que não existe o limite de f(x) para x tendendo a a.

x²-4

x-2

Exemplo: Seja: f(x)=

E calculemos o limite de f(x) x=2

2²-4

2-2

0

0

Para x=2 f(2)=

F(x) não está definido no x=2

lim f(x) = lim x²-4

x2 x2 x-2

lim (x+2) (x-2) , como x=2 (x-2) = 0 , temos: lim (x+4) = 4

x-2 x2

Definição1:

Se f(x) tende a b, quando x tende a a por valores inferiores, a a, dizemos que b é o limite a esquerda de f(x) para x tendendo a a.

Indicamos: lim f(x)= b

xa

y

b

a x

Definição2:

Se f(x) tende a b, quando x tende a a por valores superiores a dizemos que b é o lim a direita de f(x) para x tendendo a a.

Indicamos: lim f(x) = b

xa

y

b

a x

Limites laterais:

Quando o seu argumento se aproxima de um determinado valor em uma certa direção.

Exemplo:

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou direita escrevemos:

Lim f(x)

x a+

Se x aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Lim f(x)

xa-

Teoremas:

1º) Teorema da existência.

Se a é um ponto interno do domínio de f(x), a condição