Conceito De Derivada

Capitulo 6

Conceito de derivada

O conceito de derivada está relacionado com o de tangência, a noção de tangência é importante na vida diária. Ao nos apossarmos do conceito de derivada estaremos em condições de dar maior precisão a esse entendimento. Do ponto de vista da dinâmica, a velocidade escalar é uma derivada, a aceleração também é nesses dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.

Todos os dias, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como por exemplo, o tempo gasto para chegar á universidade ou a variação da temperatura num determinado dia. De modo geral, quando uma grandeza Y esta expressa em função de outra X, ou seja, Y = f(x), observamos que, para uma dada variação de X, ocorre em correspondência uma dada variação de Y, desde que Y não seja uma função constante. Se Y=f (x) =x², e a partir de x0, supomos uma variação ∆x, ou seja, X varia de x0 até x0 + ∆ x. O quociente é denominado razão media das variações ou taxa de variação média em normalmente depende do particular ponto x0 e da variação ∆y considerado.

Taxa de variação média em um intervalo

A taxa de variação média em um intervalo é calculada para intervalos de variável independente. È obtida pela divisão de duas grandezas que na prática, tem unidades de medida, então a taxa de variação média também tem unidade de medida que será dada pela divisão das suas unidades de medida envolvidas.

Se escrevermos de maneira geral um intervalo de a até b, a taxa de variação média será dada por:

Taxa de variação instantânea

O conceito de derivada esta intimamente relacionada á taxa de variação instantânea de função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de certa população, da taxa de crescimento econômico do país, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a media desta variação se faz necessária em um determinado momento.

Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então à derivada de f em x0, derrotado por f ’(x0), é dada por:

Derivada de uma função como taxa de variação instantânea

Devemos lembrar que tal limite existe, ou seja, a derivada no ponto só existe, se os limites laterais resultarem em um mesmo número. Caso isso não ocorra, o limite no ponto x=a não existe e por consequência, a derivada não existe. Calculamos várias taxas de variação média, em seguida por meio da taxa de variação instantânea no ponto x=3, obtivemos a derivada f’(3)=6.

Logo a derivada de uma função f(x) em um ponto x=a é dado por

Taxa de variação média como inclinação da Reta secante

Analisando o significado do gráfico da taxa de variação média. Taxas de variação médias da produção para intervalos 3 ≤ x ≤ 4 e 4 ≥ x ≤ 5 são 7 Ton/h, respectivamente. Os valores foram obtidos fazendo

Pontos A= ( 3; f(3)= ( 3;9 ) e B= ( 4; f(4)) = (4; 16), observamos ∆P como a subtração das ordenadas e ∆x como a subtração das abscissas dos pontos A e B, e a taxa de variação média representa a inclinação da reta secante passando pelos pontos A e B na curva da produção.

Taxa de variação instantânea como inclinação da reta tangente

Para obter a representação gráfica partiremos como na representação numérica, a partir da taxa de variação média. Lembrando-se que a taxa de variação instantânea em x=3 é dada por

Ponto P= (3; f(3)) = (3;9)*representando a produção no instante x=3; em seguida, fazemos um acréscimo h nesse instante, obtendo o instante 3 + h e o ponto correspondente Q= (3 + h; f(3+h)) representando a produção em um instante posterior x=3. Temos assim, uma reta secante passando por onde sua inclinação dá a

Figura. Taxa de variação média de f(x) para o intervalo de 3 até 3 + h como inclinação da reta .

Derivada como inclinação da reta tangente

Vimos que a taxa de variação instantânea representa a derivada de um função no ponto, então visualizamos a derivada de uma função em um ponto pela inclinação da reta tangente á curva naquele ponto.

Dada a derivada de uma função em um ponto x=a como

Graficamente, dizemos que f’(a)= inclinação da reta tangente á curva f(x) no ponto x=a e obtemos a representação gráfica seguindo os mesmo passos do gráfico anterior.]

Ponto P= (a; f(a)); em seguida fazemos um acréscimo h nesse instante, obtendo o instante a + h e o ponto correspondente Q= (a + h ; f(a + h )). Temos assim uma reta secante passando por

, onde sua inclinação a

Reta tangente á curva em um ponto

A representação gráfica da derivada em um ponto, estamos sempre nos referindo á reta tangente á curva nesse ponto. A equação de uma reta é dada por y= m.x + b, onde m dá a inclinação da reta e b, o ponto em que a reta corta o eixo y.

No exemplo, a inclinação da reta tangente será dada por

M= f’(3)=6

Sabendo que m=6, na equação da reta tangente podemos escrever y=6x+b. Ponto P= (3;f(3)) = ( 3;9). Assim substituindo as coordenadas de (3;9) em y= 6x + b temos:

9= 6.3 +

B= -9

A equação é dada por y= 6x – 9

Figura. Reta tangente “se confundindo” com a curva no ponto de tangência.

Diferentes