Cálculo Numérico Conceitos básicos

2. Etapa 2 – Sistemas de Numeração e Erros

Esta etapa é importante para que você entenda, de forma prática, o fato de que o conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, isto é, não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b].

2.1. Passo 1

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto (FRANCO, Neide M. B. Cálculo Numérico. 1ª ed. São Paulo: Pearson – Prentice Hall, 2007) que descreve os conceitos de análise de arredondamento em ponto flutuante. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de erros.

2. Observar os dois casos abaixo:

(a) Caso A

Uma professora de matemática da primeira série do ensino médio pediu a três alunos da classe que calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 m²; 45.239,04 m² e 45.238,9342176 m².

(b) Caso B

Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios:

Ferramenta de Cálculo

Calculadora

15.000

3.300

Computador

15.000

3.299,99691

3. Considerar os casos A e B apresentados anteriormente e respondam:

Por que foram encontrados três valores diferentes para o caso (A),

considerando que não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma circunferência e nem na substituição do valor do raio na mesma?

Cada um dos alunos atribuíram valores diferentes para a constante π, que é faz parte da fórmula para o cálculo de área de uma circunferência, que é dada por:

A= π*r², onde:

A= área da circunferência;

π = valor constante;

r= raio da circunferência;

Para sabermos o valor de π utilizado por cada aluno, basta calcularmos a seguinte razão:

π =A/r² e r=120 m, temos o:

Valor de π atribuído por João:

π=A/r²α→ π=45.216/14.400=3,14 (com duas casas decimais)

Valor de π atribuído por Pedro:

π=A/r²α→ π=45.239,04/14.400=3,1416 (com quatro casas decimais)

Valor de π atribuído por Maria:

π=A/r²α→ π=45.238,9342176/14.400=3,141592653 (com nove casas decimais)

Por este motivo, houve a diferença de valores, porém os resultados estão corretos.

Quando comparados, vemos uma diferença nos valores obtidos nos cálculos dos somatórios utilizando cada uma das ferramentas. A que se deve essa diferença apresentada no caso B?

No caso B, foram utilizadas bases numéricas diferentes para os cálculos, como será mostrado a seguir:

Para a , utilizando à calculadora (base 10), temos:

15.000=0,51+0,52+0,53+...+0,530000

Para a , utilizando o computador (base 2),:

Aplicando a conversão de números fracionários, temos:

(0,5)10= (0,1)2

0,5*2=1,0,