DIAGRAMA DO DINHEIRO

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Notas de aulas – Gerenciamento do Empreendimento de Engenharia Engenharia Econômica e Análise de Empreendimentos

Prof. Márcio Belluomini Moraes, MsC

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

CONCEITOS BÁSICOS PORCENTAGEM PORCENTO (do latim “per centum”) = para cada cem Ex: 30% = 30/100 = 0,30 CAPITAL, PRINCIPAL ou VALOR PRESENTE Quantia monetária transacionada em operações de empréstimo ou aplicações. JUROS Rendimento, remuneração ou resultado financeiro de um capital, tendo como unidade de medida a taxa de juros (i), esta representada percentualmente e estando sempre associada a períodos de tempo decorridos entre a alocação dos recursos e seu retorno. O juro pode ser considerado como um ônus ou encargo do capital. MONTANTE OU VALOR FUTURO Soma do Capital com Juro obtido pela aplicação (ou empréstimo) desse capital num determinado período de tempo

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TAXAS EQUIVALENTES: Taxas que aplicadas a um mesmo capital, em igual período de tempo, produzem juros iguais.

NOTAÇÕES ADOTADAS

Notação

Calculadoras

Valor Presente (Capital) Valor Futuro (Montante) Juros Taxa de juros Unidade de tempo Prestações periódicas iguais

P F J i n R

PV

FV

i n PMT

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DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Representação

Gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo (fluxo de caixa). Essa representação é útil quando se precisa visualizar um conjunto de capitais (entradas e/ou saídas), suas características e comparações no tempo. O eixo horizontal representa os períodos de tempo, cumulativamente, e o eixo vertical representa as entradas e/ou saídas de capital seguindo-se a convenção do eixo cartesiano:

Saída de Capital (despesas)

Entrada de Capital (receitas)

Exemplo : Um indivíduo aplicou $ 100 em uma instituição financeira e recebeu $ 10 de juros após 6 meses. Represente o fluxo de caixa do aplicador e da instituição.

Fluxo de caixa da instituição:

100

Fluxo de caixa do indivíduo:

110 0 6

6 0 110 100

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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO O processo pelo qual os juros são formados é denominado de regime de capitalização. Quando se aplica um capital a uma determinada taxa por período, por vários períodos, o montante pode variar segundo dois critérios: regime de capitalização simples ou regime de capitalização composta. No regime de capitalização simples as taxas incidem apenas sobre o capital inicial, sendo iguais os juros gerados em cada período. No regime de capitalização composta a taxa de juros incide

sobre o valor presente, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.

Exemplo: Para uma taxa de juros de 10% ao mês: F=P+J CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

tempo(meses) valor presente(R$) juros(R$) valor futuro(R$)

1 2 3

5000,00 5000,00 5000,00

500,00 500,00 500,00

5500,00 6000,00 6500,00

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

tempo(meses) valor presente(R$) juros(R$) valor futuro(R$)

1 2 3

5000,00 5500,00 6050,00

500,00 550,00 605,00

5500,00 6050,00 6655,00

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JUROS SIMPLES Considerando-se um capital P aplicado em regime de capitalização simples, em n períodos a uma taxa de juros i, tem-se: para n = 1 para n = 2 para n = 3 J1 = P * i J2 = (P * i) + (P * i) = (P * i) * 2 J3 = (P * i) + (P * i) + (P * i) = (P * i) * 3

Analogamente, para n períodos tem-se: Jn = (P*i) +(P*i) + (P*i)+..+(P * i) , então:

J = Pin

Para o cálculo do Valor Futuro ou Montante, tem-se:

F=P+J J = Pin

F = P + Pin

F = P(1 + in )

Observação: Para os cálculos tempo e taxa devem estar na mesma unidade e a taxa deve ser expressa em notação centesimal.

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JUROS COMPOSTOS Considerando-se um capital P aplicado em regime de capitalização composta, em n períodos, a uma taxa de juros i : F = P+J para n = 1 para n = 2 para n

= 3 F1 = P + P * i = P (1 + i) F2 = F1 (1 + i) = P (1 * i) 2 F3 = F2 (1 + i) = P (1 * i) 3

Analogamente, para n períodos, tem-se: Fn = Fn-1(1 + i), então: Fn = P (1 + i) n-1 * (1 + i)

F = P(1 + i )n

Como o valor futuro é a soma do capital com o juros: J=F–P

J c = P * (1 + i )n − P

J c = P * [ (1 + i )n − 1

]

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TAXAS EQUIVALENTES

Toda operação financeira envolve dois prazos: o prazo a que se refere à taxa de juros e o prazo de capitalização dos juros. As taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, resultam num mesmo valor de juros. TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES Da definição de taxa equivalente, tem-se as seguintes condições: P1 = P2, J1 = J2 Como J = P * i * n: J1 = P1 * i1* n1 J2 = P2 * i2* n2 Como J1 = J2 e P1 = P2: P1 * i1* n1 = P2 * i2* n2 i1* n1 = i2* n2

Considerando-se o período n1 como unitário, sendo n2 múltiplo de n1, tem-se:

i1 = i 2 * n 2

ou

i2 =

i1 n2

TAXAS EQUIVALENTES EM JUROS COMPOSTOS Analogamente