Distribuição Probabilidade

Distribuição Probabilidade

Em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Ela é uma função cujo domínio é os valores da variável e cuja imagem são as probabilidades de a variável assumir cada valor do domínio. O conjunto imagem deste tipo de função está sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.

Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.

Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado.variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção.

Uma variável aleatória é continua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis aleatórias continuas são determinadas por uma medição. Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa.

Distribuição Binomial

Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências.

A distribuição binomial verifica as seguintes condições:

A experiência tem um nº fixo de provas;

As provas são independentes. (O resultado de uma prova não afeta probabilidade de ocorrência das restantes.);

Cada prova origina um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso;

A probabilidade de sucesso, denotada por p, é constante em cada prova.

Notação para a distribuição binomial:

n denota o nº de provas (valor fixo à partida).

x denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.

p denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.

q denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.

P(x) denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).

Fórmulas da probabilidade na distribuição binomial:

P(X=x)= [n!/x!(n-x)!].p^x.q^(n-x) para x = 0, 1, 2, . . ., n

ou

onde:

n = nº de provas

x = nº de sucessos nas n provas

p = probabilidade de sucesso em cada prova

q = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)

Média μ = n • p

Variância s² = n • p • (1-p)

Desvio Padrão s = n • p • (1-p) (raíz quadrada)

onde:

n = nº de provas

p = probabilidade de sucesso em cada uma das n provas

q = probabilidade de insucesso em cada uma das n provas

A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando no evento especificado deseja calcular a probabilidade de um acontecimento composto estabelecido por vários eventos. Neste caso, os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em outras situações é necessária a reposição dos dados, para que se possa usar a distribuição binomial.

Distribuição de Poisson

Curva matemática usada na estatística e na simulação de resultados para representar a probabilidade de que determinado evento ocorra, quando a probabilidade média é conhecida.

A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dos intervalos de tempo – não existe nenhuma região ou espaço com maior probabilidade que outra. Quase não existe nenhuma probabilidade de acontecer mais de uma ocorrência num mesmo ponto – aproximadamente zero. A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo.

O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências contínuas que tinham lugar durante um intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam exatamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

onde

e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),

k! é o fatorial de k,

λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo.

Distribuição Normal

A distribuição Normal é a mais utilizada da estatística, pois muitas variáveis aleatórias de ocorrência natural ou de processos práticos obedecem a esta distribuição. Ela possibilita determinar probabilidades associadas a todos os pontos da linha de base. Possui forma de sino, e o seu valor de máxima freqüência (moda) coincide com o valor da média e da mediana.

A média é o centro da curva. A distribuição de valores maiores que a média e a dos valores menores que a média é perfeitamente simétrica, ou seja, se passarmos uma linha exatamente pelo centro da curva, teremos duas metades, sendo que cada uma delas é a imagem espelhada da outra.

As extremidades da curva estendem-se de forma indefinida ao longo de sua base (o eixo das abscissas) sem jamais tocá-la. (Portanto, o campo de variação da distribuição normal estende-se de - infinito a + infinito).

A curva apresenta uma área central em torno da média, onde se localizam os pontos de maior freqüência. Também possui áreas menores, progressivamente mais próximas de ambas as extremidades, em que são encontrados escores muito altos (à direita) ou escores muito