Electromagnetismo e óptica

Colecção de Problemas de

Electromagnetismo e Óptica

Mestrado em Engenharia Electrotécnica e Computadores (MEEC)

Fernando Carvalho Barão, Luís Filipe Mendes Departamento de Física do Instituto Superior Técnico Versão: Setembro/2010

Preâmbulo

Esta colectânea de problemas resulta da experiência dos autores na docência da disciplina de Electromagnetismo e Óptica no mestrado integrado de Electrotecnia e Computadores, no Instituto Superior Técnico ao longo de vários anos. O conjunto de problemas aqui apresentado, beneficiou do trabalho de inúmeros colegas, quer pela contribuição directa para a disciplina em causa, quer pela via de problemas herdados. A todos devotamos os nossos agradecimentos. Adicionalmente, destacamos também a contribuição dos alunos para esta colectânea de problemas, quer pelo apontar de incorrecções ou incongruências quer pelo estímulo que nos foi dado para a sua execução. A colectânea de problemas encontra-se dividida em vários capítulos. Nestes, faz-se uma breve introdução teórica que pretende resumir a matéria necessária à resolução dos problemas propostos. Segue-se um conjunto de exercícios resolvidos que pretende ser um guia da metodologia a seguir na resolução dos exercícios propostos. Por último, todos os problemas apresentados possuem soluções. Este documento encontra-se ainda a ser trabalhado, nomeadamente no que

respeita às introduções teóricas de alguns dos capítulos. No entanto e apesar de provisório, achámos útil a sua disponibilização aos alunos. Resta o desejo de que ele cumpra os objectivos de permitir uma melhor assimilação dos conteúdos ensinados na disciplina de Electromagnetismo e Óptica. Lisboa, 16 de Dezembro de 2009

Fernando Carvalho Barão Luís Filipe Mendes

Índice

Constantes Físicas

massa do electrão massa do protão carga elementar permitividade eléctrica do vácuo permitividade magnética do vácuo constante de Planck número de Avogadro velocidade da luz no vácuo me mp e

1 4πε0 µ0 4π

9, 10 × 10−31 kg 1, 6 × 10−19 C

1, 67 × 10−27 kg

9 × 109 N.m2 .C−2 10−7 N.A−2 6, 6 × 10−34 J.s 6, 022 × 1023 3 × 108 m.s−1

h NA c

2

Formulário matemático

Algumas Primitivas Z dx = 1 x p b x2 + b xdx 1 = −p x2 + b (x2 + b)3/2 Z “ ” p dx p = ln x + x2 + b 2 +b x Z

(x2 + b)3/2 Z p xdx p = x2 + b 2 +b x Z 1 x dx = ln( ) x(x + a) a x+a

Para o cálculo analítico de integrais pode ser consultado o endereço web: http://integrals.wolfram.com Coordenadas cartesianas (x, y, z) dℓ = dx ux + dy uy + dz uz dS = dx dy dV = dx dy dz „ « ∂F ∂F ∂F ∇F = , , ∂x ∂y ∂z ∂Ay ∂Az ∂Ax + + ∇·A = ∂x ∂y ∂z „ « ∂ ∂ ∂ ∇×A= , , , × (Ax , Ay , Az ) ∂x ∂y ∂z Coordenadas polares (r, θ) dℓ = dr ur + r dθ uθ dS = r dr dθ Coordenadas cilíndricas (r, θ, z) dℓ = dr ur + r dθ uθ +

dz uz dV = r dr dθ dz « „ ∂F 1 ∂F ∂F , , ∇F = ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂Aθ ∂Az 1 ∂(r Ar ) + + ∇·A = r ∂r r ∂θ ∂z „ « „ « „ « 1 ∂Az ∂Ar 1 ∂(r Aθ ) ∂Aθ ∂Az 1 ∂Ar ∇×A= − ur + − uθ + − uz r ∂θ ∂z ∂z ∂r r ∂r r ∂θ Coordenadas esféricas (r, θ, φ) dℓ = dr ur + r dθ uθ + r senθ dφ uφ dV = r2 dr senθ dθ dφ « „ 1 ∂F ∂F 1 ∂F , , ∇F = ∂r r ∂θ rsenθ ∂φ ´ ´ 1 1 ∂ ∂ ` 1 ∂ ` 2 r Ar + Aφ (senθAθ ) + ∇·A = 2 r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂φ » – » – » – ∂(senθAφ ) ∂(rAφ ) 1 1 ∂Ar ∂(senθAθ ) 1 1 ∂(rAθ ) ∂Ar ∇×A= − ur + − uθ + − uφ rsenθ ∂θ ∂φ r senθ ∂φ ∂r r ∂r ∂θ

3

Teorema da Divergência Z ∇ · A dV = I A · n dS

V

S

Teorema da Stokes Z ∇ × A dS = I A · dℓ

S

Γ

Identidades vectoriais ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A ∇ · (∇ × A) = 0

4

Formulário de Electromagnetismo e Óptica

Formulário de Electromagnetismo e Óptica, MEEC (2008)

5

Electrostática • • • E= q 1 ur 4πε0 r2

Magnetostática Z µ0 Idℓ × ur 4π r2

•

B=

1 = 9 × 109 N.m2 .C−2 4πε0 I E · dℓ = 0

Γ

• •

•

∇×E = 0 Z I D · n dS =

S

µ0 = 10−7 H/m 4π dF = Idℓ × B I B · n dS = 0

S

Γ

ρliv dv • ρpol dv • •

V

•

∇ · D = ρliv Z I P · n dS = −

S

∇·B = 0 Z I J · n dS H · dℓ =

Γ S

V

∇×H = J B = µ0 (M + H) B = µ0 (1 + χm )H = µH I Z M · dℓ = JM · n dS

Γ S

ρpol = −∇ · P σpol = P · next Z Ref E · dℓ φP =

P

•

E