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ENGENHARIA CIVIL. TURMA N21

ÁLVARO MOTA MENDES - RA: 6020386796

DANIEL FERREIRA DA SILVA - RA: 6018351056

FABIO GOMES BENITEZ - RA: 6019396590

GESUILSO ARAUJO DA CRUZ - RA: 6061445130

GIUMAR SANTOS DA COSTA - RA: 6017359195

GLEICIANE DOS SANTOS DE SOUZA - RA: 6016348067

ATPS DE CÁLCULO NUMÉRICO

Atividade Pratica Supervisionada

CAMPO GRANDE – MS

10-11-2013

ÁLVARO MOTA MENDES

DANIEL FERREIRA DA SILVA

FABIO GOMES BENITEZ

GESUILSO ARAUJO DA CRUZ

GIUMAR SANTOS DA COSTA

GLEICIANE DOS SANTOS DE SOUZA

ATPS DE CÁLCULO NUMÉRICO

Atividade Pratica Supervisionada

ORIENTADOR: MARCOS VINICIO MONTEIRO

CAMPO GRANDE – MS

10-11-2013

AGRADECIMENTOS

Somos gratos primeiramente a Deus pela oportunidade de estudar um curso, de grandes descobertas e muitos desafios, aos familiares, e ao nosso professor que esta nos guiando de forma plena e motivadora nesta longa jornada da graduação.

SUMÁRIO

Etapa 3..........................................................................................................................................5

Passo 1.................................................................................................................................5

Passo 2 ................................................................................................................................7

Passo 3.................................................................................................................................9

Passo 4...............................................................................................................................10

Etapa 4........................................................................................................................................11

Passo 1...............................................................................................................................11

Passo 2...............................................................................................................................13

Passo 3...............................................................................................................................15

Passo 4...............................................................................................................................15

ETAPA 3

Passo 1

Função linear é a função matemática que possui as seguintes propriedades:

Aditividade:

Homogeneidade:

Em suma:

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma reta com ordenada na origem, isto é, em que b=0.

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma em que é um número real.

• é a variável dependente e a variável independente;

• é o coeficiente angular.

Numa loja, podem ser comprados: uma faca, duas colheres e três garfos por R$ 23,00; duas facas, cinco colheres e seis garfos por R$ 50,00; duas facas, três colheres e quatro garfos por R$ 36,00.

Qual seria o valor pago por meia dúzia de cada?

x = Faca

y = Colher

z = Garfo

x + 2y + 3z = 23

2x + 5y + 6z = 50

2x + 3y + 4z = 36

1 2 3 23

2 5 6 50 L2 - 2.L1

2 3 4 36 L3 - 2.L1

1 2 3 23

0 1 0 4 L3 – L2

0 -1 -2 -10

1 2 3 23

0 2 0 4 L3 ÷ (-2)

0 0 -2 -6

1 2 3 23

0 1 0 4

0 0 1 3

z = 3 y = 4 x + 2y + 3y = 23

x + (2.4) + (3.3) = 23

x = 23 - 17

x = 6

6x + 6y + 6z

(6.6) + (6.4) + (6.3)

36 + 24 + 18

76

Então o valor gasto por meia dúzia de cada um seria de R$ 78,00.

Passo 2

Ler o desafio proposto:

Considerar um circuito elétrico representado por:

i1 + i2 + i3 = 0

z1 i1 - z2 i2 = 65

z2 i1 – z3 i3 = 120

Onde, i1, i2, i3 são as correntes e z1 = 10, z2 = 8, e z3 = 3, as impedâncias pelas quais as correntes passam.

A respeito do sistema linear gerado pelo circuito elétrico, podemos afirmar:

I - o determinante da matriz incompleta A do sistema é 118.

i1 + i2 + i3 = 0

10 i1 - 8 i2 = 65

8 i1 - 3 i3 = 120

1 1 1 1 1

10 -8 0 10 -8

8 0 -3 8 0 D = (1×(-8) × (-3)) + (1×0×8) + (1×10×0) - (1×10×(-3)) - (1×0×0) - (1×(-8) ×8)

D = 24 + 0 + 0 + 30 + 0 + 64

D = 118

0,20 0,02 0,07

II – a matiz inversa de A, denotada por Aˉ1 = 0,25 -0,09 0,08

1 0,07 0,15

III – o sistema é possível e determinado (sistema compatível ) e a solução é dada por:

i1 = 9,79; i2 = 4,11; i3 = -13,9

i1 + i2 + i3 = 0

10 i1 - 8 i2 = 65

8 i1 - 3i3 = 120

1 1 1 0

10 -8 0 65 L2 - 10.L1

8 0 -3 120 L3 - 8.L1

1 1 1 0

0 -18 -10 65 L2 ÷ (-18)

0 -8 -11 120

1 1 1 0

0 1 5/9 -65/18 L3 + 8.L2

0 -8 -11 120

1 1 1 0

0 1 5/9 -65/18 L3 ÷ (-5/9)

0 0 -59/9 820/9

1 1 1 0

0 1 5/9 -65/18

0 0 1 -820/59

i3 = -13,9 i2 + (5/9).i3 = -65/18 i1 + i2 + i3 = 0

i2 + ((5/9).(-13,9)) = -65/18 i1 + 4,11 - 13,9 = 0

i2 = (-65/18) + 7,72 i1 - 9.79 = 0

i2 = 4,11 i1 = 9,79

Passo 3

Resolver o desafio proposto no passo 2, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados e apresentados ao professor ao final desta etapa.

Associar o número 0, a afirmação I estiver certa.

Associar o número 1, a afirmação I estiver errada.

Associar o número 0, a afirmação II estiver certa.

Associar o número 1, a afirmação II estiver errada.

Associar o número 0, a afirmação III estiver certa.

Associar o número 1, a afirmação III estiver errada.

Sendo a resposta:

S{0,1,0}

Passo 4

O grupo concluiu que, toda função na forma , com é denominada função linear. E que uma característica da função dentro do plano cartesiano é que o seu gráfico passa pelo ponto (0;0); a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

As funções lineares são usadas no dia a dia e não percebíamos, como por exemplo, para medir o nível de aumento de bactérias em um determinado corpo, para determinar a dilatação de certo material estudado. Percebemos a importância de compreendê-la para obter sucesso em nossa futura profissão.

ETAPA 4

Passo 1

Newton-Raphson

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e repete-se o processo, que deve tender a uma das raízes da função rapidamente, ou não tender a nada, deixando isso claro logo. Em notação matemática representa-se desta forma:

,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e é a derivada da função f em xn.

Para que se obtenha sucesso na iteração deve-se primeiramente delimitar um intervalo, a fim de escolher um valor estimado inicial adequado, para que a convergência de (xn) seja propícia. Para tanto existem apenas quatro condições a serem satisfeitas:

• O intervalo delimitado deve conter a raiz de f;

• A função f deve ser diferenciável em todo o intervalo;

• A primeira derivada no intervalo não deve trocar de sinal;

• A segunda derivada no intervalo não deve trocar de sinal.

Uma vez delimitado um intervalo que cumpra tais exigências, escolhe-se para o valor-inicial o ponto mais à esquerda se o produto da primeira pela segunda derivada for negativo, ou escolhe-se o ponto mais à direita se ocorrer o contrário, se o produto for positivo.

Iteração Linear

O método da iteração linear é um processo iterativo que apresenta vantagens e desvantagens em relação ao método da bissecção.

Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O Método de Iteração Linear inicia-se

Reescrevendo a função f(x) como,

f(x) = z(x) – x

Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que: f(x) = z(x) – x =0; z(x) = x, ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor de x na função z(x), teremos como resultado o próprio valor de x. Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de (x), ou seja, o valor que ao ser substituído em z(x) retorna o próprio valor de x.

Por exemplo, a função f(x) = x² - x – 2 pode ser reescrita como:

f(x) = x²– 2 – x = z(x) – x,

onde z(x) = x² – 2. Essa função tem como ponto fixo o valor x=2, pois,

z(2) = 2² – 2 = 2. E esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois,

f(2) = 2² – 2 – 2 = 0.

Portanto, para encontrarmos a raiz de f(x), podemos encontrar o valor numérico que ao substituirmos em z(x) retorna o

próprio valor de x. Para encontrarmos esse valor de x, vamos utilizar um processo iterativo, onde começamos a calcular o valor de

z(x) com um valor inicial de x, e recalculamos repetidamente o valor de z(x) sempre usando o resultado de uma dada iteração como a nova estimativa de x, ou seja, fazendo: X k+1=z(xk), onde, k é a ordem da iteração em que estamos (k = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função z(x) é chamada de função de iteração. Pode-se notar que dada uma função f(x) existem diversas funções de iteração que podem ser usadas no processo.

Passo 2

Desafio B

I. Errado

4x - y + z = 8

2x + 5y + 2z = 3

X + 2y + 4z = 11

│4 -1 1 8 L1 ÷ 4

│2 5 2 3

│1 2 4 11

│1 -1/4 1/4 2 L2 - (2. L1)

│2 5 2 3 L3 - L1

│1 2 4 11

│1 -1/4 1/4 2 L3 - ((9/4). L2)

│0 11/2 3/2 2/11 L1 + ((1/4). L2)

│0 9/4 15/4 9

│1 0 7/22 43/22

│0 1 3/11 - 2/11 L3 ÷ (69/22)

│0 0 69/22 207/22

│1 0 7/2 43/22

│0 1 3/11 - 2/11

│0 0 1 3

Z= 3 Y + 3. 3/11 = - 2/11 X + 3. 7/2 = 43/22

Y = - 2/11 - 9/11 X = 43/22 - 21/2

Y = - 1 X = 1

II. Correto

III. Errado

│1 2 0 1 2

│0 3 -1 1 3 L3 + L1

│-1 1 3 -1 4 L4 - (3. L1)

│3 -1 -1 3 -3

│1 2 0 1 2

│0 3 -1 1 3 L2 ÷ 3

│0 3 3 0 6

│0 -7 -1 0 -9

│1 2 0 1 2

│0 1 - 1/3 1/3 1 L3 - (3. L2)

│0 3 3 0 6 L4 + (7. L2)

│0 -7 -1 0 -9

│1 2 0 1 2

│0 1 - 1/3 1/3 1

│0 0 4 -1 3 L3 ÷ 4

│0 0 -10/3 7/3 -2

│1 2 0 1 2

│0 1 -1/3 1/3 1 L2 +(1/3). L3

│0 0 4 - 1/4 3/4 L4 + (10/3). L3

│0 0 -10/3 7/3 -2

│1 2 0 1 2

│0 1 - 1/3 1/4 5/4 L4 ÷ (3/2)

│0 0 1 -1/4 3/4

│0 0 0 3/2 1/2

│1 2 0 1 2

│0 1 -1/3 1/4 5/4

│0 0 1 -1/4 3/4

│0 0 0 1 1/3

lv. Errado

│1 1 0 1 │1 1

│2 1 -1 1 │2 1

│-1 1 3 -1 │-1 1

│3 -1 -1 3 │3 -1

Det = 9 + 3 + 0 - 2 + 3 +3 = 16

Passo 3

Desafio A

R= {1,0}

Desafio B

R= {0,0,0,0}

Passo 4

O grupo conclui que os dois entre vários métodos aprendidos em sala com o professor, o método de Newton é mais prático e rápido, porem necessita de um conhecimento e atenção maior ao derivar a função.

Como em nosso cotidiano nem sempre podemos escolher qual método usar, pois na pratica, hora é corrido, hora é parado, nosso trabalho, concluímos que o método de Newton é melhor para qualquer ocasião até o momento em que estudamos.