Equações Diferenciais E Series

Passo 1 (Aluno)

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

Uma equação diferencial (EDO) é uma equação que estabelece uma relação

entre a variável independente x, a função buscada y = f(x) e suas derivadas

y′, y′′, : : :, y(n). Aqui usamos a notação y′ := dy=dx, etc. Um exemplo de

equação diferencial ordinária é o seguinte:

y′′ + y′ + 2xy = 3 : (1)

O termo ordinária refere-se ao fato de que a função desconhecida y = f(x)

depende somente de uma variável. Caso contrário, como veremos mais adi-

ante, é denominada parcial (EDP).

FLEXÃO DE VIGAS Vigas geralmente são elementos prismáticos retos e longos. Vigas de aço e de alumínio desempenham um papel importante na engenharia de estruturas emecânica.Vigas de concreto armado e madeira são muito usadas na construção decasas. Na maioria dos casos, as forças são perpendiculares ao eixo da viga.Esse carregamento transversal provoca somente flexão e cisalhamento naviga.Quando as forças não estão em ângulo reto com o eixo da viga, elas produzemtambém forças axiais na viga .O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer umainvestigação das cargas que atuam em seu interior para a garantia de que omaterial utilizado possa resistir a tal carregamento. Esses efeitos internospodem ser determinados pelo uso do método das seções.

A teoria de Euler-Bernoulli para o cálculo de vigas é a que deriva da hipótese cinemática de Navier-Bernouilli, e pode ser empregada para calcular tensões e deslocamentos sobre uma viga ou arco de comprimento de eixo maior comparada com a aresta máxima ou altura da seção transversal.

Para escrever as fórmulas da teoria de Navier-Bernouilli convém tomar um sistema de coordenadas adequado para descriver a geometria, uma viga é de fato um prisma mecânico sobre o qual se podem considerar as coordenadas (s, y, z) com s a distância ao longo do eixo da viga e (y, z) as coordenadas sobre a seção transversal. Para o caso de arcos este sistema de coordenadas é curvilíneo, ainda que para vigas de eixo recto pode-se tomar como cartesiano (e nesse caso s se nomeia como x). Para uma viga de seção reta a tensão no caso de flexão composta biaxial a tensão é dada pela fórmula de Navier:

Onde:

são os segundos momentos de área (momentos de inércia) segundo os eixos Y y Z.

é o momento de área misto ou produto de inércia segundo os eixos Z e Y.

são os momentos fletores segundo as direções Y e Z, que em geral variam segundo a coordenada x.

é o esforço axial ao lango do eixo

Se a direção dos eixos de coordenadas (y, z) são tomadas coincidentes com as direções principais de inércia então os produtos de inércia se anulam e a equação anterior se simplifica notavelmente. Além disso é considerado o caso de flexão simples não biaxial as tensões segundo o eixo são simplesmente:

Por outro lado, neste mesmo caso de flexão simples não biaxial, o campo de deslocamentos, na hipótese de Bernoulli, é dado pela equação da curva elástica:

onde

representa a flecha ou flexão, o deslocamento vertical, em relação à posição inicial sem cargas.

representa o momento fletor ao longo