Estatística Aplicada

2.1 – Distribuições de Probabilidades.

O fato de trabalharmos muitas vezes com variáveis discretas e outras tantas com variáveis contínuas nos conduz à divisão das distribuições de probabilidades em dois grandes grupos, cada um deles com modelos matemáticos específicos:

• Distribuições de Probabilidades Discretas:

o Distribuição Binomial

o Distribuição de Poisson

o Distribuição Hipergeométrica

• Distribuições de Probabilidades Contínuas:

o Distribuição Normal

o Distribuição Exponencial

A maneira como se utiliza uma e outra difere de acordo com os aspectos específicos do problema estatístico que está sendo estudado. De modo geral as distribuições discretas utilizam equações estatísticas para calcular as probabilidades e as contínuas, gráficos e tabelas deles decorrentes para o mesmo cálculo.

Como as distribuições binomiais e em especial as distribuições normais são aquelas mais utilizadas na prática vamos concentrar nossos estudo nas duas. As demais distribuições apresentam aspectos matemáticos diferenciados, mas seguem padrões de cálculos semelhantes, o que facilitará o estudo futuro para aqueles que assim necessitarem e desejaram.

2.2 – Distribuição de Probabilidades Binomial

A distribuição de binomial é uma distribuição para variáveis discretas e, como o próprio nome indica, é utilizada quando temos a presença de dois eventos complementares. É uma generalização do binômio de Newton e segue adapta-se as amostragens que seguem o princípio de Bernoille, que são os seguintes:

1. Em cada repetição do experimento, nomeado como tentativa, existem dois e apenas dois resultados possíveis, complementares chamados por conveniência de sucesso e insucesso.

2. A série de tentativas é composta de eventos independentes.

3. As probabilidades de sucesso e insucesso permanecem constantes ao longo das tentativas. É um processo estacionário.

Para entender o funcionamento e a utilidade da distribuição binomial vamos recuperar um tipo de problema que já equacionamos no módulo anterior:

1-Um vendedor sabe que ao sair para fazer um determinado tipo de venda tem 20% de probabilidade de concretizá-la. Num dia qualquer ele sai para atender a três clientes, qual é a probabilidade de fazer exatamente duas vendas?

O problema pode ser resolvido usando os conceitos aprendidos no módulo anterior. Mas veja bem, isso só é possível porque ele pretende fazer poucas visitas. Caso ele saísse para fazer dez visitas, a resolução seria demasiadamente trabalhosa.

Vamos começar pelo caso mais fácil. A árvore de decisões apresentada a seguir mostra três caminhos nos quais o vendedor consegue efetivar exatamente duas vendas. São os caminhos 2, 3 e 5. Portanto como vimos anteriormente a probabilidade do vendedor realizar exatamente duas vendas é a soma das probabilidades dos três caminhos, ou seja:

Portanto, a probabilidade do vendedor conseguir efetivar exatamente três vendas é de 9,60%.

Observe algumas coisas interessantes sobre esse cálculo que acabamos de fazer:

• Todos os caminhos têm o mesmo cálculo: 0,22 x 0,81 = 0,0320. Note que 0,2 é a probabilidade de se concretizar a venda e o expoente dele 2 é o número de vendas que queremos concretizar; 0,8 é a probabilidade de não se concretizar a venda e o expoente dele 1 e o número de vendas que não iremos concretizar.

• Observe também que existem três caminhos possíveis. Você deve lembrar que esse valor se refere às combinações possíveis de 3 elementos (os clientes visitados) tomados 2 a 2 (o número de vendas que queremos efetivar):

Dessa forma conseguimos encontrar uma fórmula para calcular qualquer quantidade de eventos, com muito menos trabalho, por exemplo, vamos resolver a seguinte questão:

2-Um vendedor sabe que ao sair para fazer um determinado tipo de venda tem 30% de probabilidade de concretizá-la. Num dia qualquer ele sai para atender a vinte clientes, qual é a probabilidade de fazer exatamente oito vendas?

Nessa questão os números envolvidos são muito maiores, causando um trabalho braçal muito grande se formos resolvê-la “na raça” como a questão anterior. Mas agora já conhecemos o funcionamento na distribuição é só usá-lo:

• Probabilidade de se efetivar uma venda: 30% ou 0,3

• Número de vendas que quero efetivar: 8

• Probabilidade de não se efetivar uma venda: 70% ou 0,7 (lembre-se são eventos complementares)

• Número de vendas que não irá se efetivar 12 (lembre-se: se o vendedor vai fazer 20 visitas e concretiza a venda em 8 delas, não concretizará vendas em 12 delas, obviamente)

Aplicando a fórmula:

• Número de caminhos:

• Probabilidade de cada caminho: 0,38 x 0,712 = 0,0000009081

• Probabilidade de efetivarem-se exatamente oito vendas: 125.970 x 0,0000009081 = 0,1144 = 11,44%

Perceba que apesar dos números envolvidos serem difíceis de trabalhar, ainda é muito mais simples que o raciocínio da árvore.

Com rigor formal a fórmula para o cálculo da distribuição binomial é a seguinte:

Onde:

• P(X=x) é a probabilidade que o número de sucessos obtidos seja exatamente igual a x.

• N é o número de tentativas realizadas, ou seja, o número de vezes que o experimento é realizado.

• X é o número de sucessos que desejamos obter.

• p é a probabilidade de sucesso numa