FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS

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João Aparecido Adriano, RA 2055010

         

                                       

 

 

 

Sequência                 

 

 

 

 

 

 

SÃO PAULO

2020

Sequência Infinita de Termos. A palavra sequência significa uma sucessão de coisa em uma ordem determinada. Como, por exemplo, ordem cronológica, de tamanho, por cor, ou lógica. Em matemática, o termo sequência ´e usado para denotar uma sucessão de números cuja ordem e determinada por uma função ou uma lei.

Podemos definir uma sequência infinita como sendo a sucessão sem fim de números, chamados termos. Entendemos que os termos têm uma ordem definida, isto ´e, existe um primeiro a1, um segundo a2, um terceiro a3, e assim por diante. Podemos escrevê-la matematicamente dessa forma: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, . . .  

O termo da sequência continua indefinidamente de acordo com lei que os rege. Podemos observar alguns exemplos específicos abaixo: 1) 2, 4, 6, 8, 10, . . . 2) 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , . . . 3) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , . . . 4) 1, −1, 1, −1, 1, Cada uma das sequências tem um padrão definido tornando fácil compreender os termos adicionais. No entanto, tais padrões podem ser ilusórios, ´e melhor uma fórmula para gerar os termos. Sendo assim, uma maneira de fazê-la ´e procurar uma função que relacione cada termo da sequência ao número de sua posição.

Vamos determinar por recorrência uma fórmula a cada sequência dada anteriormente.          1) Na sequência 2, 4, 6, 8, 10, . . ., temos a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, . . ., 16 note que: a1 = 2 a2 = a1 + 2 a3 = a2 + 2 . . . an = an−1 + 2 somando as duas colunas das igualdades, obtemos a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + n fatores z }| { 2 + 2 + 2 + . . . + 2 eliminando os simétricos da igualdade, temos an = 2n. Portanto,    a1 = 2 an = an−1 + 2 ⇒ an = 2n, ∀n ∈ N ∗ Outra forma de achar o termo geral da sequência ´e de forma intuitiva.

Vejamos, 2, 4, 6, 8, 10, . . . = a1, a2, a3, a4, a5, . . . ⇒ a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, . . ., note que o valor do termo ´e o dobro do valor de sua posição, então, considerando n- enésimo termos, dessa forma podemos dizer que a fórmula para determinar qualquer termo desta sequência ´e an = 2n, ∀n ∈ N ∗ . Agora de maneira análoga, e intuitiva, podemos determinar o termo geral das demais sequências.

2) Temos, a1 = 1, a2 = 1 2 , a3 = 1 3 , a4 = 1 4 , a5 = 1 5 , . . . e como todo termo ´e uma fração de numerador 1 e com denominador igual a sua posição. Portanto, an = 1 n , ∀n ∈ N ∗ 3) Dos termos, a1 = 1 2 ,