Força Tridimensional

SISTEMA DE FORÇA TRIDIMENSIONAL

Para o equilíbrio de um ponto material é necessário que:

= 0

Se as forças estiverem decompostas em seus respectivos componentes i, j, k, então

teremos:

+ + = 0

Para se garantir o equilíbrio, é necessário que as três equações escalares dos

componentes sejam iguais a 0.

Essas equações representam a soma algébrica dos componentes x, y, z da força

que atua sobre o ponto material. Usando-as, podemos encontrar no máximo três

incógnitas, geralmente representadas como ângulos ou intensidades das forças

mostradas no diagrama de corpo livre.

Problemas de equilíbrio de força tridimensional de um ponto material são resolvidos

usando-se alguns procedimentos.

Diagrama de Corpo Livre:

• Defina os eixos x, y, z numa orientação adequada.

• Identifique todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das

forças no diagrama.

• O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é suposto.

Equações de Equilíbrio:

• Use as equações escalares de equilíbrio , , nos casos em que seja fácil

decompor cada força em seus componentes x, y e z.

• Se a geometria tridimensional parecer difícil, primeiro expresse cada força

como vetor cartesiano, faça a substituição pelos vetores e iguale a zero os

componentes i, j, k.

• Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é

oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre.

MOMENTO DE UMA FORÇA

O momento de uma força F em relação a um ponto O ou, mais exatamente, em

relação ao eixo de momento que passa por O perpendicularmente ao plano, contendo

0 e F, pode ser expresso na

forma de um produto vetorial:

Mo = r x F

Nesse caso, r representa um vetor posição traçado de O até qualquer ponto sobre a

linha de ação de F.

Intensidade: a intensidade do produto vetorial é definida como Mo = rF sen Θ.

O ângulo Θ é medido entre as direções de r e F. Para definir esse ângulo, r deve

ser tratado como um vetor deslizante, de como que Θ possa ser representado

corretamente. Uma vez que o braço de momento d = r sen Θ, então:

Mo = rF sen Θ = F (r sen Θ) = Fd

Direção e Sentido: a direção e o sentido de Mo são determinados pela regra da

mão direita, com a aplicação do produto vetorial. Desse modo, deslocando r ao longo

da linha tracejada e curvando os dedos da mão direita de r para f, ‘r produto vetorial

F’, o polegar dica direcionado para cima, ou seja, fica perpendicular ao plano contendo

r e F, que está na mesma direção e no mesmo sentido de Mo, o momento da força

em relação ao ponto O. Note que tanto a ‘curvatura’ dos dedos em torno da linha

vertical no ponto A como a seta que circula o vetor momento indicam o sentido de

rotação provocado pela força. Lembrando que o produto vetorial é não comutativo, é

importante manter a ordem de r para F.

Princípio da Transmissibilidade: considere a força F aplicada no ponto A.

o momento criado por F em relação a O é Mo = rA x F. No entanto, foi mostrado

anteriormente que ‘r’ pode se deslocar de O até qualquer ponto sobre a linha de ação

de F. em conseqüência, F pode ser aplicada no ponto B ou C, e no mesmo momento

Mo = rB x F = rC x F deverá ser obtido.

Formulação Vetorial Cartesiana: fixando os eixos coordenados x, y, z, o vetor

posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos.

i j k

Mo = r x F = rx ry rz

Onde: rx, ry, rz - representam os componentes x, y, z do vetor posição traçado do

ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força.

Fx, Fy, Fz - representam os componentes x, y, z do vetor força.

Desenvolvendo o determinante temos:

Fx Fy

Fz

Mo = (ryFz – rzFy)i – (rxFz - rzFx)j – (rxFy – ryFx)k

A linha de ação de Fy em relação ao ponto A no eixo x seja rzFy. Pela regra da mão

direita, esse componente atua na direção negativa de i. Da