Geometria

Chamamos de poliedros de Platão, quando todas as faces têm o mesmo número de lados, quando em todos os vértices coincidem o número de arestas e quando segue a relação de Euler (V – A + F =2).

A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C. A existência destes sólidos já era conhecida por pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitetura e em outros objetos que construíram.

Os cinco poliedros de Platão são:

• Tetraedro

• Hexaedro

• Octaedro

• Dodecaedro

Os cinco poliedros regulares convexos — tetraedro, cubo ou hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro — ficaram conhecidos na história como sólidos platônicos, pelo fato de Platão ter construído suas teorias a respeito da origem do universo, associando a estes os constituintes fundamentais da natureza. Platão professava que Deus criou o mundo a partir de quatro elementos básicos: a terra, o fogo, o ar e a água. Ele procurou, então, definir as essências específicas desses elementos através de quatro objetos geométricos, os poliedros convexos regulares, que representavam, aos olhos dos gregos, harmonia e certa perfeição.

3 SOLIDOS DE ARQUIMEDES

Os Poliedros Arquimedianos são caracterizados por serem semirregulares equiangulares, isto é, a soma dos ângulos planos em cada vértice é igual (e constituem um ângulo sólido), mas as faces não são iguais, embora sejam polígonos regulares. De acordo com Rangel (1976), os Poliedros Arquimedianos podem aparecer agrupados em dois gêneros: quando as faces são de dois gêneros, os ângulos sólidos podem ser triédricos, tetraédricos ou pentaédricos; e quando as faces são de três gêneros, os ângulos sólidos só podem ser triédricos ou tetraédricos. Nesta mesma obra podem ser encontradas as dezenove propriedades, com as respectivas demonstrações, e o Teorema de Euler, que provam a existência de apenas 13 Poliedros que atendem a essas características.

Os treze Poliedros Arquimedianos podem ser construídos a partir dos Platônicos, sendo onze deles por meio de truncaturas (cortes) nas arestas destes primeiros, e o Cubo Rombo e o Dodecaedro Rombo, por meio de snubificação de Poliedros Platônicos, cujo processo consiste em afastar todas as faces de um Poliedro Platônico, girá-las 45º e preencher os espaços vazios resultantes com triângulos. Dos 11 primeiros, temos que o Tetraedro Truncado se origina a partir do Tetraedro; o Cuboctaedro e o Cubo Truncado se originam a partir do Cubo; o Octaedro Truncado se origina a partir do Octaedro; o Dodecaedro Truncado se origina a partir do Dodecaedro; o Icosaedro Truncado e o Icosidodecaedro se originam a partir do Icosaedro. Os quatro últimos são obtidos a partir de truncaturas nas arestas de dois poliedros, sendo primeiramente truncado um Platônico, obtendo-se assim um Arquimediano, e em seguida esse novo Poliedro recebe uma nova sequência de truncaturas, obtendo-se outro Poliedro Arquimediano, ou seja, a partir do Icosaedro obtemos o Icosidodecaedro e a partir deste, obtemos o Icosidodecaedro Truncado a partir do Cubo obtivemos o Cuboctaedro e a partir deste