Geometria Anallítica 1

Geometria analítica

Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.

Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

O PLANO CARTESIANO

A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado (x, y) de números reais e escrevemos P( x, y ) para indicar este ponto.

Dois eixos orientados ( x e y ) são dispostos ortogonalmente, dando a origem à divisão do plano em quatro partes, cada uma denominada quadrante. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas (x), eixo das ordenadas ( y ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.

A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.

Observações:

Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.

P∈Ox ↔P=(x,0)

Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.

P∈Oy ↔P=( 0,y)

Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa.

A∈b_i ↔A=(a,a)

Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa.

B∈b_p ↔B=(b,-b)

EXERCÍCIOS

Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos

A(3, 4), B(-2, 3), C(2, 0), D(0, -3), E(1,5 ; - 5), F(-1, 1) E G(2, -2).

Determine o valor de k, sabendo que o ponto A( 2k-1, - k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

O ponto P( 3k+6, -k+2 ) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-se:

Qual a ordenada do ponto P?

Em que quadrante encontra-se o ponto P?

Qual a distância do ponto P à origem?

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:

EXERCÍCIOS

Calcule a distância entre os pontos dados:

A (3, 7) e B (1, 4) R:

E (3, -1) e F (3, 5) R: 6

H (-2,-5) e O (0, 0) R:

M (0, -2) e N ( , -2) R:

P (3, -3) e Q (-3, 3) R:

C (-4, 0) e N (0, 3) R: 5

A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a. R:

Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é

10

2

16

R: c

A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é:

5

10

15

20

25

R: a

A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:

-1

0

1 ou 13

-1 ou 10

2 ou 12

R: c

Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)?

(0,5)

(5,0)

(2,3)

(6,2)

(-1,0)

R:a

O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é:5

10

20

17

29

R: b

PONTO MÉDIO

Se os pontos dados são A (x1 , x2) e B(y1 , y2) e se P (x , y) é o ponto médio, então temos que:

observe