Geometria Analítica

1.Geometria Analítica

A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.

Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.Uma característica importante da G.A. se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação.

Podemos relacionar o seguinte tópico ao estudo da G.A.:

Estudo da Circunferência :

Equação geral e reduzida da circunferência

Posições relativas entre ponto e circunferência

Posições relativas entre reta e circunferência

Problemas relacionados à tangência

2.Definição e equação

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:

Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 2)² + (y + 9)² = 6²

(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).

A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x-a)²+(y–b)²=R²

(x–2)²+(y–1)²=1²

(x – 2)² + (y – 1)² = 1

A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:

(x–2)²+(y–1)²=1

x²–4x+4+y²–2y+1–1=0

x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0

3.Posições relativas entre reta e circunferência:

Considere uma circunferência no plano de cento O(xo, yo) e raio r. Dada uma reta s de equação ax + by +c = 0, também do mesmo plano. A reta s pode ser tangente, secante ou externa à circunferência. Se s for tangente, ela toca a circunferência em um só ponto. Se s for secante, intercepta a circunferência em dois pontos distintos. E se for externa à circunferência, a reta s não possui nem um ponto em comum com a circunferência.

Do ponto de vista de geometria analítica, temos:

1º caso: A reta s é externa à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é maior que a medida do raio. Ou seja:

dO,s > r

2º caso: A reta s é tangente à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual ao raio. Ou seja:

dO,s =r

3º caso: A reta s é secante à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. Ou seja:

dO,s < r

Exemplo 1. Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)2+ (y – 3)2 = 25.

Solução: Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos:

x0 = 3 e y0 = 3 → O(3, 3)

r2 = 25 → r = 5

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e s.

Da equação geral da reta, obtemos:

a = 3, b = 1 e c = – 13

Assim,

Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência.

Exemplo 2. Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação (x – 1)2 + (y – 1)2 = 5.

Solução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à medida do raio. Da equação da circunferência, temos que:

x0 = 1 e y0 = 1 → O(1, 1)

r2 = 5 → r = √5

E da equação da reta, obtemos:

a = 2, b = 1 e c = 2

Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Como a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual à medida